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第一章 向量函数

第一节 向量函数的微分微积分简介随堂测验

1、
A、何期后作
B、末答
C、案m案
D、业答

2、微分
A、何期后作
B、末答
C、案m案
D、业答

3、微分向量函数r(t)在t处的何期后作的导数还是一个向量.

4、若向量函数r(t)满足dro0，末答则r(t)是案m案常向量.

5、若向量函数r(t)连续，业答则r(t)必可微。

6、若向量函数r(t)可微，则r(t)必连续。

7、若x(t),y(t),z(t))在区间I上连续，则向量函数r(t)=（x(t),y(t),z(t))在区间I上连续。

8、向量函数r(t) = (cost，sin t, 1)的导数的模等于

第二节 向量函数的两个常用命题随堂测验

1、向量函数 r(t) 具有固定长的充要条件是

2、向量函数 r(t) 具有固定长的充要条件是

3、向量函数 r(t) 具有固定方向的充要条件是

4、向量函数 r(t) 具有固定方向的充要条件是

5、向量函数关于t的旋转速度等于其导数的模

6、单位向量函数 r(t)= (cos3t，sin 3t, 0)关于t的旋转速度等于

第一章单元测验

1、若向量函数r(u,v)满足dro0，则r(u,v)是常向量.

2、对任意三个向量 a，b，c 和任意三个实数 l，m，n，则三个向量la-m b , m b-nc , nc-la 共面.

3、向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是

4、向量函数的导数是一个数量

5、向量函数的不定积分是一个向量函数

6、设 r(t) = (3cos t，3sin t, 4 t)，则|r'(t)|=

7、向量函数 r(t)= (3cost，3sin t, 0) 关于t的旋转速度等于

8、向量函数 r(t)= (cost，sin t, 0) 关于t的旋转速度等于

9、三向量函数 a(t)=(t,0,0),b (t)=(0,,0)，c (t)=(0,0,3t)的混合积(a(t) , b (t)，c (t))=

第二章 曲线论

第一节 曲线的概念随堂测验

1、开的直线段是简单曲线

2、开圆弧是简单曲线

3、曲线的正常点处一定有正常的切线。

4、在曲线的正常点处，切向量唯一。

5、曲线的长度与其参数化无关。

6、类曲线一定是可求长的曲线。

7、

8、单位圆=的切向量 的模长等于

9、单位圆周的弧长是( ).

第二节 空间曲线的曲率和Frenet标架随堂测验

1、基本向量α是法平面的单位法向量。

2、基本向量β 是法平面的单位法向量。

3、基本向量γ 是法平面的单位法向量

4、基本向量β 是从切平面的单位法向量。

5、基本向量α是密切平面的单位法向量。

6、基本向量γ 是密切平面的单位法向量。

7、曲率一定是非负数。

8、曲率处处为零的曲线一定是直线。

9、曲率恒等于1的曲线一定是单位圆。

10、单位圆的曲率恒等于1。

11、

第三节 空间曲线的挠率和Frenet公式随堂测验

1、单位圆的挠率恒等于1

2、挠率一定是非负数。

3、挠率处处为零的曲线一定是平面曲线！

4、曲线论的基本公式包含了曲线几何的最基本信息：弧长，曲率，挠率．

5、基本向量的导数可用基本向量线性表示，系数是几何量，且成反对称矩阵.

6、单位圆的挠率恒等于（ ）。

第四节 曲线在一点邻近的结构随堂测验

1、近似曲线 C* 与曲线 C 在 P0 点具有相同的Frenet标架。

2、近似曲线 C* 与曲线 C 在 P0 点具有相同的挠率值。

3、近似曲线 C* 与曲线 C 在 P0 点具有相同的曲率值。

4、主法向量总是指向曲线弯曲的方向。

5、挠率大于零的空间曲线是左螺线上升的。

6、近似曲线 C* 与曲线 C 有相同的自然参数。

7、从局部来看，空间曲线在密切面的一侧。

第五节 曲线论基本定理随堂测验

1、曲率与挠率都是非零常数的曲线一定是圆柱螺旋线。

2、曲率与挠率可以完全决定曲线的形状。

3、曲率恒等于1的曲线是单位圆。

4、挠率恒等于1的曲线是圆柱螺旋线。

5、曲率与挠率都相等的曲线一定是圆柱螺旋线。

6、曲线的自然方程是依赖于坐标选取的。

7、曲线的自然方程是依赖于容许参数变换的。

8、曲率、挠率是几何不变量。

第六节 一般螺线随堂测验

1、曲率与挠率之比恒为常数的曲线一定是圆柱螺旋线。

2、曲率与挠率都是非零常数的曲线一定是圆柱螺旋线。

3、一般螺线的副法线方向总与一个固定方向垂直。

4、一般螺线的主法线方向总与一个固定方向垂直。

5、一般螺线的切线方向总与一个固定方向垂直。

6、一般螺线的副法线方向总与一个固定方向平行。

7、一般螺线的主法线方向总与一个固定方向平行。

8、一般螺线的切线方向总与一个固定方向平行。

9、一般螺线的切线方向总与一个固定方向成固定角。

10、一般螺线的副法线方向总与一个固定方向成固定角。

曲线论习题课随堂测验

1、曲线 r(t) = (a cos t , a sin t , b t ) 的切向量与（0，0， 1）处处垂直。

2、曲线 r(t) = (a cos t , a sin t , b t ) 的主法线与（0，0， 1）处处垂直。

3、曲线 r(t) = (a cos t , a sin t , b t ) 的副法线与（0，0， 1）处处垂直。

4、球面曲线的切向量与向径处处垂直。

5、曲线 r(t) = (a cos t , a sin t , 0 ) 的挠率等于（ ）。

曲线论 单元测验

1、若向量函数r(t)满足dro0，则r(t)是常向量

2、

3、曲线的长度与其参数化无关.

4、圆柱螺线 r(t)= (cos3t，sin 3t, t的参数t是自然参数.

5、曲率恒等于1的曲线一定是单位圆.

6、球面曲线的法平面一定通过球心.

7、挠率一定是非负数.

8、曲率和挠率都是几何量.

9、空间曲线在切点附近会穿过从切面.

10、曲线的所有切线都经过一定点，则此曲线是直线.

11、基本向量的导数可用基本向量线性表示.

12、单位向量函数 r(t)= (cos3t，sin 3t, 0)关于t的旋转速度等于

13、单位圆的长度是 （ ）。

14、圆柱螺线r(t)= (cos t，sin t, t）的挠率等于

15、单位圆的挠率等于 （ ）。

第三章 曲面的第一基本形式

第一节 曲面的概念随堂测验

1、在曲面的正常点处，u线与v线一定相切。

2、使v=常数而u变动时的曲线叫做u-曲线

3、曲纹坐标网一定是正交网。

4、正则曲面上一定存在正交曲线网。

5、使v=常数而u变动时的曲线叫做v-曲线。

6、球面的参数化是惟一的.

7、

8、

9、球面是简单曲面.

第二节 切平面和法线随堂测验

1、球面的法线不一定通过球心。

2、正则曲面上的点局部总可以显式化。

3、在曲面的正常点处有正常的切平面.

4、容许参数变换会改变曲面的切平面.

5、曲面上的曲线族可用一阶线性微分方程表示.

6、dudv=0表示曲面的曲纹坐标网.

7、在曲面的正常点处有正常的法线。

第三节 曲面的第一基本形式随堂测验

1、曲面的第一基本形式是正定的二次形式。

2、曲面的第一类基本量与参数选取无关。

3、曲面的形状由第一基本形式完全决定。

4、曲面上曲线的长度可由第一基本形式决定.

5、曲面域的面积可由第一基本形式决定.

6、曲面上两条曲线之间的夹角可由第一基本形式决定.

第四节 曲面间的等距及保角变换随堂测验

1、运动变换一定是等距变换。

2、等距变换一定是运动变换。

3、任意两张曲面之间都可以建立等距变换。

4、等距变换一定是保角变换。

5、保角变换一定是等距变换。

6、任意两张曲面之间都可以建立保角变换。

7、正螺面可以与悬链面建立等距变换。

曲面的第一基本形式 习题课随堂测验

1、平面可以与球面建立等距变换。

2、平面可以与柱面建立等距变换。

3、平面可以与锥面建立等距变换。

曲面的第一基本形式单元测验

1、下面哪种曲面的参数化存在奇点？
A、 ．
B、
C、
D、

2、不能和平面建立等距的曲面是
A、球面。
B、圆柱面
C、圆锥面
D、椭圆柱面

3、

4、球面是简单闭曲面.

5、曲纹坐标网一定是正交网。

6、球面的法线一定通过球心。

7、容许参数变换会改变曲面的切平面.

8、dudv=0表示曲面的曲纹坐标网.

9、曲面的形状由第一基本形式完全决定

10、曲面的第一类基本量与参数选取无关。

11、曲面的第一类基本量E、F、G满足关系 。

12、任意两张曲面之间都可以建立等距变换

13、任意两张曲面之间都可以建立保角变换

14、平面可以与球面建立等距变换。

15、正螺面可以与悬链面建立等距变换

曲面的第二基本形式

第一节 曲面的第二基本形式随堂测验

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A、
B、
C、
D、

2、
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B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、曲面的第二基本形式是正定的二次形式。

6、曲面的第二类基本量与参数选取无关。

7、第二基本形式恒等于0的曲面，一定是平面。

8、平面的第二基本形式恒等于0。

第二节 法曲率随堂测验

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B、
C、
D、

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B、
C、
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B、
C、
D、

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D、

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A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

7、曲面的法截线一定是平面曲线。

8、法截线的曲率一定等于法曲率。

9、法截线法曲率的绝对值一定等于法截线的曲率。

第三节 曲面的主方向和曲率线随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
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B、
C、
D、

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C、
D、

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B、
C、
D、

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B、
C、
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6、
A、
B、
C、
D、

7、曲面上一定存在渐近曲线网。

8、曲面的非脐点附近一定存在曲率线网。

9、渐近方向一定是主方向。

10、球面的第一基本形式与第二基本形式成比例。

11、脐点都是圆点。

12、球面上的点一定是圆点。

13、主方向一定是渐近方向.

第四节 主曲率、Gauss曲率和平均曲率随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
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B、
C、
D、

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B、
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B、
C、
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10、
A、
B、
C、
D、

11、球面的高斯曲率为常数。

12、球面的主曲率为常数。

13、球面的平均曲率为常数。

14、极小曲面上的点一定是平点或双曲点。

15、主曲率为常数的曲面是球面。

16、主曲率为常数的曲面是球面或平面。

第五讲 曲面在一点邻近的结构随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
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B、
C、
D、

4、
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B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

6、曲面在椭圆点邻近的形状近似于椭圆抛物面。

7、曲面在双曲点邻近的形状，近似于双曲抛物面（马鞍面）。

8、曲面在非退化抛物点邻近的形状，近似于抛物柱面。

9、曲面在平点邻近的形状，需要进一步分析。

10、椭圆点的Gauss曲率大于零。

11、双曲点的Gauss曲率大于零。

第六讲 可展曲面随堂测验

1、可展曲面一定是直纹面。

2、直纹面一定是可展曲面。

3、可展曲面上的点一定是平点或双曲点。

第五章 曲面论的基本定理

曲面论的基本定理随堂测验

1、高斯曲率是内蕴几何量.

2、平均曲率是内蕴几何量.

3、主曲率是内蕴几何量.

4、高斯曲率可以完全决定曲面的形状.

5、曲面的形状由其第一基本形式与第二基本形式决定.

6、曲面的第一基本形式与第二基本形式是相互独立的.

7、不存在使得E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1的曲面.

8、存在使得E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=1的曲面.

9、Riemann 曲率张量是内蕴几何量.

学习通微分几何

微分几何，顾名思义是微积分和几何学的结合体。微分几何是现代数学中的分支学科，主要研究的是曲线、曲面和高维流形等几何对象的微分性质和拓扑结构。微分几何的发展史可以追溯到 17 世纪的高斯和黎曼，如今，微分几何在流体力学、相对论、量子场论、拓扑学等领域有广泛的应用。

微分几何的基础知识

微分几何的基础知识包括拓扑学、微积分学和线性代数等内容，本文主要介绍微分几何的基本概念和方法。

曲线和曲面

微分几何研究的主要对象是曲线和曲面。曲线可以看作是一条弯曲的一维线段，曲面则是弯曲的二维平面。

曲线和曲面的一些基本概念包括：

• 曲率：曲线和曲面的弯曲程度。
• 切向量和法向量：曲线和曲面上每一点的切向量和法向量。
• 曲面的第一和第二基本形式：描述曲面的局部几何性质的工具。

流形

在微分几何中，流形是一个很重要的概念。流形可以看作是一个局部类似欧几里得空间的对象，但是它的整体结构可能是不同的。在流形上可以定义类似欧几里得空间上的微积分学。

流形的一些基本概念包括：

• 切空间和余切空间：流形上每一点的切空间和余切空间。
• 切丛和余切丛：切空间和余切空间构成的向量丛。
• 联络和曲率：切丛上的联络和曲率。

微分几何的应用

微分几何在众多领域有着广泛的应用，下面列举一些典型的应用。

流体力学

微分几何在流体力学中有着重要的应用。流体力学中的流动是空间中的向量场，微分几何中的切向量和余切向量可以用来描述流动的速度和压力分布。曲率则可以用来描述流体运动的弯曲程度。

相对论

相对论是现代物理学的重要分支之一，微分几何在相对论中也发挥着重要的作用。相对论中的时空是一个弯曲的四维流形，微分几何中的流形理论可以用来描述时空的几何结构，曲率则可以用来描述时空的弯曲程度。

量子场论

量子场论是理论物理学中的一个重要分支，微分几何在量子场论中也有着应用。曲面中的场可以看作是流形上的一个向量场，微分几何中的切向量和余切向量可以用来描述场的变化和传播。

微分几何的研究方向

微分几何的研究方向很广泛，下面列举一些典型的方向。

黎曼几何

黎曼几何是微分几何的一个重要分支，主要研究的是黎曼流形上的曲率、共形变换和李群等问题。

拓扑学

微分拓扑学是微分几何的一个分支，主要研究的是流形的拓扑性质，如同伦不变量、异构不变量和复合不变量等。

几何分析

几何分析是微分几何的一个分支，主要研究的是流形上的微分方程和变分问题，如黎曼几何中的李维-奇维塔定理和杨-米尔斯方程。

总结

微分几何是现代数学中的一个重要分支，它结合了几何学和微积分学的理论和方法，研究的对象包括曲线、曲面和高维流形等几何对象。微分几何在流体力学、相对论、量子场论和拓扑学等领域有着广泛的应用，同时也是黎曼几何、微分拓扑学和几何分析等分支学科的基础。通过学习微分几何的基础知识和应用，可以更好地理解现代数学和物理学的发展和应用。

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《琴操》的作者是谁（ ）

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