mooc数学分析（六）_2章节答案(慕课2023完整答案)
第一讲 含参正常积分的数学定义和连续性随堂测验
1、在是分析连续的.
2、
第二讲 含参正常积分的章节可微性随堂测验
1、设,答案答案则对 可以在积分下求导.
2、设,慕课 在 都连续并且, 则 成立.
第三讲 含参正常积分的可积性随堂测验
1、设在有定义，完整则
2、数学设在有定义，分析,章节其中定义在,值域在,则在上可积
第十三章 重积分（第三次课）
格林公式（第14章第三次课内容1）随堂测验
1、若函数在闭区域上连续且有连续一阶偏导数，答案答案则有 这里为区域的慕课边界曲线，分段光滑，完整并取负方向。数学
2、分析曲线积分( ),章节 其中为正向圆周曲线.
曲线积分与路径的无关性（第14章第三次课内容2）随堂测验
1、设, 正向为逆时针方向, 是 的正向单位切向量, 则
A、
B、
C、
D、0
2、设是中非单连通区域，在上连续，为中分段光滑的定向曲线， 试用箭头（ ）表明下列命题之间的蕴含关系. （A）与积分路径无关； （B） ； （C）在上有原函数； （D）.
A、
B、
C、
D、
第十四章 曲线积分与曲面积分（第一、二次课）
第二讲 第一型曲线积分的计算（第一次课内容2）随堂测验
1、设为曲线 与 所围成区域的整个边界曲线， 是连续函数， 则
A、
B、
C、
D、
2、设是平面有向光滑曲线，函数在上连续.，则
第一讲 第二型曲线积分的定义、性质（第二次课内容1）随堂测验
1、设 ，逆时针方向. 是在第一象限的部分. 在上 连续，当 满足下列条件中的（ ）时有 （1）；（2） ； （3） ；（4） .
A、（1）,（3）
B、（2）,（4）
C、（1）,（4）
D、（2）, （3）
2、设是平面上的光滑曲线. 在上连续，且在上有 ，则
第二讲 第二型曲线积分的计算（第二次课内容2）随堂测验
1、设，, 且它们均沿 逆时针方向. 则 .
2、设是逆时针方向圆周 ，如当 时， 与为同阶无穷小，则( ).
第三讲 两型曲线积分之间的联系（第二次课内容3）随堂测验
1、设为球面与平面的交线，从轴正向看去依逆时针方向.在上连续，则
A、
B、
C、
D、
2、设为平面内一有向光滑曲线，为上点处与同向的单位切向量，则
A、
B、
C、
D、
第十四章 曲线积分与 曲面积分（第六次课）
第二讲 斯托克斯公式（第六次课内容2）随堂测验
1、下列哪一个区域不是单连通区域
A、
B、
C、
D、
2、沿着空间双侧曲面S的边界曲线L的正方向行走时，曲面S的正侧总在右方。
第三讲 场论初步（梯度）随堂测验
1、高斯公式的向量形式为
A、
B、
C、
D、
2、设, 则
场论初步（选学内容）随堂测验
1、设 为数量场，则下列式子中正确的是
A、
B、
C、
D、
2、斯托克斯公式的向量形式为
A、
B、
C、
D、
学习通数学分析（六）_2
一、导数及其应用
1. 导数的定义
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地，因变量y也取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果存在常数k，使得
lim(Δy/Δx)=lim[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx=k（k可能不存在）
则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称k为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作y'=f'(x0)，即
k=f'(x0)=lim[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx （Δx→0）
2. 导数的几何意义
函数y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的导数f'(x0)是指函数图像在点P处的切线斜率。
3. 导数的计算
（1）常数的导数：常数的导数为0；
（2）幂函数的导数：(xn)'=nx^(n-1)；
（3）指数函数的导数：(a^x)'=a^x*lna；
（4）对数函数的导数：(loga(x))'=1/(x*lna)；
（5）三角函数的导数：
sin'x=cosx，cos'x=-sinx，tan'x=sec^2x，cot'x=-csc^2x，sec'x=secxtanx，csc'x=-cscxcotx；
（6）反三角函数的导数：
arcsin'x=1/√(1-x^2)，arccos'x=-1/√(1-x^2)，arctan'x=1/(1+x^2)，arccot'x=-1/(1+x^2)，arcsec'x=1/(|x|*√(x^2-1))，arccsc'x=-1/(|x|*√(x^2-1))。
4. 导数的应用
（1）判断函数的单调性；
（2）求函数的最值；
（3）判断函数的凹凸性；
（4）求函数的拐点；
（5）求曲线与直线的交点。
二、高阶导数及其应用
1. 高阶导数的概念
对于函数y=f(x)，如果它在点x0处存在导数f'(x0)，则称函数y=f(x)在点x0处可导。如果函数y=f(x)在点x0的某个邻域内的每一点处都可导，则称函数y=f(x)在该邻域内可导。如果函数y=f(x)在某个区间I上每一点处可导，则称函数y=f(x)在I上可导。
设函数y=f(x)在区间I上可导，如果它的导函数f'(x)在区间I上的每一点处都可导，则称函数y=f(x)在I上可导二次，其导数f''(x)称为原函数f(x)的二阶导数，记作y''(x)或f''(x)。
2. 高阶导数的计算
（1）幂函数的高阶导数：(x^n)^(k)=n(n-1)...(n-k+1)x^(n-k)；
（2）指数函数的高阶导数：(a^x)^(k)=a^x(lna)^k；
（3）对数函数的高阶导数：(loga(x))^(k)=(-1)^(k-1)(k-1)!/x^k；
（4）三角函数的高阶导数：
sin^(k)x=sink，cos^(k)x=coskx（k为偶数），cos^(k)x=-sink（k为奇数）；
（5）反三角函数的高阶导数：
arcsin^(k)x=(-1)^{ (k-1)/2}(2k-3)!!/(2^kk!)√(1-x^2)^(k-1)，arccos^(k)x=(-1)^k(2k-3)!!/(2^kk!)√(1-x^2)^(k-1)，arctan^(k)x=Pk(tanx)，Pk(t)为k次欧拉多项式。
3. 高阶导数的应用
（1）判断函数的性质；
（2）求函数的极值；
（3）求函数的拐点；
（4）求曲率。
三、隐函数及其导数
1. 隐函数的定义
如果方程F(x, y)=0确定了一个函数y=f(x)（即将x代入F(x, y)=0，使得方程成立的y值唯一确定），则称方程F(x, y)=0在点(x0, y0)处确定了一个隐函数。若该隐函数在点x0处可导，则称该隐函数在点(x0, y0)处可导。
2. 隐函数的求导
设方程F(x, y)=0在点(x0, y0)处确定了一个隐函数y=f(x)，则
?F/?x+f'(x)?F/?y=0
其中，f'(x)表示y=f(x)在点x处的导数。
3. 隐函数的求导举例
例1：设x^2+y^2-3x-4y+8=0，求dy/dx。
解：对原方程两边求x的导数，得2x+2ydy/dx-3-4dy/dx=0。
整理得到dy/dx=[3-2x]/[2y-4]=[-(x-3/2)]/[y-2]
四、参数方程及其导数
1. 参数方程的概念
如果x和y都是关于参数t的函数，即x=x(t)，y=y(t)，则称这两个函数构成的函数组为参数方程。
2. 参数方程的导数
设x=x(t)，y=y(t)是参数方程，则
dy/dx=[dy/dt]/[dx/dt]
3. 参数方程的求导举例
例2：设x=cos2t，y=sin3t，求y'。
解：根据dy/dx=[dy/dt]/[dx/dt]，可得到dy/dx=-3sin2t/2cos3t=-3tan2t/2。
五、微分
1. 微分的概念
对于函数y=f(x)，若自变量x有一个增量Δx，那么因变量y也有一个增量Δy=f(x+Δx)-f(x)，如果Δy可表示为：
Δy=AΔx+o(Δx)
其中，A为常数，o(Δx)是指当Δx趋于0时，o(Δx)与Δx的比值趋于0，即o(Δx)/Δx→0，那么称Δy是函数y=f(x)对自变量x的增量Δx的微分，记作dy=f'(x)dx或df(x)。
2. 微分的性质
（1）线性性：d(uv)=udv+vdu，d(u/v)=(vdu-udv)/(v^2)；
（2）微分中值定理：若函数y=f(x)在区间[a,b]上可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。
3. 微分的应用
微分可以应用于误差估计，线性近似等问题。
六、总结
本文主要介绍了导数及其应用、高阶导数及其应用、隐函数及其导数、参数方程及其导数、微分等相关知识，这些知识在数学分析中具有重要的应用价值，在物理、工程、经济等领域有广泛的应用。
中国大学数学分析（六）_2
1. Fourier级数
在正交函数系的基础上，我们可以引入Fourier级数。假设有一组正交函数系$\\{ \\varphi_n(x)\\}$，则任意一个函数$f(x)$都可以表示为：
$$f(x)=\\sum_{ n=1}^{ \\infty}c_n\\varphi_n(x)$$其中，$c_n$是$f(x)$在正交函数系$\\{ \\varphi_n(x)\\}$下的展开系数。
对于Fourier级数而言，正交函数系一般选取三角函数系$\\{ 1,\\cos x,\\sin x,\\cos 2x,\\sin 2x,\\cdots\\}$。
若$f(x)$在区间$[-\\pi,\\pi]$上有定义，则其Fourier级数为：
$$f(x)\\sim \\dfrac{ a_0}{ 2}+\\sum_{ n=1}^{ \\infty}(a_n\\cos nx+b_n\\sin nx)$$其中，$a_0,a_n,b_n$为Fourier系数，定义如下：
$$a_0=\\dfrac{ 1}{ \\pi}\\int_{ -\\pi}^{ \\pi}f(x)dx$$$$a_n=\\dfrac{ 1}{ \\pi}\\int_{ -\\pi}^{ \\pi}f(x)\\cos nx dx,\\quad n=1,2,\\cdots$$$$b_n=\\dfrac{ 1}{ \\pi}\\int_{ -\\pi}^{ \\pi}f(x)\\sin nx dx,\\quad n=1,2,\\cdots$$若$f(x)$在$[-l,l]$上有定义，则Fourier系数为：
$$a_0=\\dfrac{ 1}{ 2l}\\int_{ -l}^{ l}f(x)dx$$$$a_n=\\dfrac{ 1}{ l}\\int_{ -l}^{ l}f(x)\\cos\\dfrac{ n\\pi x}{ l}dx,\\quad n=1,2,\\cdots$$$$b_n=\\dfrac{ 1}{ l}\\int_{ -l}^{ l}f(x)\\sin\\dfrac{ n\\pi x}{ l}dx,\\quad n=1,2,\\cdots$$2. Fourier级数的性质
（1）线性性：设$f(x),g(x)$的Fourier级数分别为：
$$f(x)\\sim\\dfrac{ a_0}{ 2}+\\sum_{ n=1}^{ \\infty}(a_n\\cos nx+b_n\\sin nx)$$$$g(x)\\sim\\dfrac{ c_0}{ 2}+\\sum_{ n=1}^{ \\infty}(c_n\\cos nx+d_n\\sin nx)$$则有：
$$\\alpha f(x)+\\beta g(x)\\sim \\alpha\\dfrac{ a_0}{ 2}+\\beta\\dfrac{ c_0}{ 2}+\\sum_{ n=1}^{ \\infty}(\\alpha a_n+\\beta c_n)\\cos nx+(\\alpha b_n+\\beta d_n)\\sin nx$$（2）Parseval等式：
$$\\dfrac{ a_0^2}{ 2}+\\sum_{ n=1}^{ \\infty}(a_n^2+b_n^2)=\\dfrac{ 1}{ \\pi}\\int_{ -\\pi}^{ \\pi}f^2(x)dx$$（3）傅里叶级数逐项可积：
设$f(x)$的Fourier级数为：
$$f(x)=\\dfrac{ a_0}{ 2}+\\sum_{ n=1}^{ \\infty}(a_n\\cos nx+b_n\\sin nx)$$则有：
$$\\int_{ -\\pi}^{ \\pi}|f(x)-\\dfrac{ a_0}{ 2}|\\,dx\\leq\\dfrac{ \\pi}{ \\sqrt{ 2}}\\sum_{ n=1}^{ \\infty}(a_n^2+b_n^2)^{ 1/2}$$（4）收敛到$f(x)$：
设$f(x)$连续，则其Fourier级数在$x$处收敛于$f(x)$的充要条件是：
$$\\lim_{ n\\to\\infty}\\int_{ -\\pi}^{ \\pi}|f(x)-S_n(x)|^2\\,dx=0$$其中，$S_n(x)$为前$n$项和。
3. Fourier变换
在Fourier级数的基础上，我们还可以引入Fourier变换。设$f(x)$是绝对可积函数，定义其Fourier变换为：
$$F(k)=\\dfrac{ 1}{ \\sqrt{ 2\\pi}}\\int_{ -\\infty}^{ \\infty}f(x)e^{ -ikx}\\,dx$$其中，$k$为变量。
类似地，定义其反Fourier变换为：
$$f(x)=\\dfrac{ 1}{ \\sqrt{ 2\\pi}}\\int_{ -\\infty}^{ \\infty}F(k)e^{ ikx}\\,dk$$其中，$k$为变量。
Fourier变换具有如下性质：
（1）线性性：若$f(x),g(x)$的Fourier变换分别为$F(k),G(k)$，则有：
$$\\alpha f(x)+\\beta g(x)\\rightarrow\\alpha F(k)+\\beta G(k)$$（2）平移性质：
$$f(x-a)\\rightarrow e^{ -ika}F(k)$$（3）对称性：
$$F(-k)=\\overline{ F(k)}$$（4）相似性：
$$f(\\alpha x)\\rightarrow\\dfrac{ 1}{ |\\alpha|}F\\left(\\dfrac{ k}{ \\alpha}\\right)$$（5）卷积定理：
$$f(x)*g(x)\\rightarrow F(k)G(k)$$其中，$*$表示卷积。
（6）Parseval等式：
$$\\int_{ -\\infty}^{ \\infty}|f(x)|^2\\,dx=\\int_{ -\\infty}^{ \\infty}|F(k)|^2\\,dk$$4. Laplace变换
和Fourier变换类似，我们还可以引入Laplace变换。对于函数$f(x)$，其Laplace变换为：
$$F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty}f(x)e^{ -sx}\\,dx$$其中，$s$为变量。
Laplace变换具有如下性质：
（1）线性性：若$f(x),g(x)$的Laplace变换分别为$F(s),G(s)$，则有：
$$\\alpha f(x)+\\beta g(x)\\rightarrow\\alpha F(s)+\\beta G(s)$$（2）时移性质：
$$f(x-a)u(x-a)\\rightarrow e^{ -as}F(s)$$其中，$u(x)$为单位阶跃函数。
（3）频移性质：
$$e^{ ax}f(x)\\rightarrow F(s-a)$$（4）微分性质：
$$f'(x)\\rightarrow sF(s)-f(0)$$$$f''(x)\\rightarrow s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$$（5）卷积定理：
$$f(x)*g(x)\\rightarrow F(s)G(s)$$其中，$*$表示卷积。
（6）Parseval等式：
$$\\int_{ 0}^{ \\infty}|f(x)|^2\\,dx=\\dfrac{ 1}{ 2\\pi i}\\int_{ \\gamma-i\\infty}^{ \\gamma+i\\infty}F(s)\\overline{ F(-s)}\\,ds$$其中，$\\gamma$为实轴上的任意实数，且积分路径左侧除原点外不存在奇点。
