中国大学数学分析_8答案(mooc2023课后作业答案)

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第十六章 多元函数的中国作业极限与连续 第二单元

第六讲 二元函数的极限 I随堂测验

1、二元函数的大学答案答案极限必须在定义域的内点处才可以定义

第七讲 二元函数的极限 II随堂测验

1、两个二元函数在一点处一个存在极限，数学一个不存在极限，分析那么它们的课后和在该点处极限不存在

2、若二元函数在定义域的中国作业某个聚点处不存在极限，那么一定存在某个以该聚点为极限的大学答案答案含于定义域的点列，该点列对应的数学函数值数列发散

3、若二元函数在点A处有极限，分析那么必定存在A的课后某个空心邻域，函数在该空心邻域上有界

第八讲 累次极限随堂测验

1、中国作业两个累次极限都存在且相等，大学答案答案那么重极限一定存在

2、数学两个累次极限都存在但极限值不同，分析那么重极限一定不存在

第十六章 多元函数的课后极限与连续 第三单元

第十讲 二元函数的连续性随堂测验

1、若A是二元函数定义域的非孤立点，二元函数在点A处存在重极限是在点A处二元函数连续的
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、其他选项都不对

2、二元函数在点A连续，则必存在A的某个邻域，使得在该邻域内二元函数有界.

第十一讲 有界闭区域上连续函数的性质随堂测验

1、有界区域上的二元连续函数必有界.

2、有界闭集上的二元连续函数必有最大最小值

第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元

第一讲 平面点集I随堂测验

1、平面点集的内点必是
A、外点
B、界点
C、聚点
D、孤立点

2、平面上点的空心邻域是

第二讲 平面点集 II随堂测验

1、闭集中的点可能是
A、集合的外点
B、集合的内点
C、集合的聚点
D、集合的孤立点

2、连通闭集一定是闭域

第三讲 R^2上的完备性定理随堂测验

1、闭域套定理相应的闭集套定理仍成立

2、有界点集必有聚点

第四讲 二元函数与n 元函数随堂测验

1、二元函数的图像可能是
A、平面上的曲线
B、三维空间中的球面
C、三维空间中的曲线
D、三维空间中的曲面

2、二元函数的定义域是二元函数的图像在平面上的投影

学习通数学分析_8

学习通数学分析_8是高等数学的重要分支之一，主要研究的是连续函数的性质、一元多项式的分解、微积分基本定理等内容。下面将对这些内容进行详细阐述。

连续函数的性质

连续函数是指函数在定义域内的任何点都具有连续性的函数。连续函数的性质主要包括以下几点：

• 若$f(x)$在$x_0$处连续，则$\\lim\\limits_{ x\\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$。
• 若$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处连续，则$f(x)+g(x)$、$f(x)-g(x)$和$f(x)g(x)$在$x_0$处连续。
• 若$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处连续，且$g(x_0)\\neq 0$，则$\\frac{ f(x)}{ g(x)}$在$x_0$处连续。
• 若$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在此区间上必有最大值和最小值。

一元多项式的分解

一元多项式是指一元变量的多项式，例如$f(x)=a_nx^n+a_{ n-1}x^{ n-1}+\\cdots + a_1x+a_0$，其中$a_i(i=0,1,\\cdots,n)$为系数。一元多项式的分解是指将其分解为若干个一次多项式和二次多项式的乘积的形式。例如，$f(x)=x^2-3x+2$可以分解为$f(x)=(x-2)(x-1)$。

微积分基本定理

微积分基本定理是微积分学的基石，它将微积分中的微分和积分联系起来，形成了微积分的基本理论。微积分基本定理可以分为两部分：

• 第一部分，也称为第一基本定理，是指如果$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则函数$F(x)=\\int_{ a}^{ x}f(t)dt$在$[a,b]$上是可微的，并且$F'(x)=f(x)$。
• 第二部分，也称为第二基本定理，是指如果$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\\int_{ a}^{ b}f(x)dx$存在，且$\\int_{ a}^{ b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数。

综上所述，学习通数学分析_8是高等数学中的重要分支之一，涵盖了连续函数的性质、一元多项式的分解和微积分基本定理等内容。通过学习这些内容，可以深入理解微积分学的基本理论，为未来的学习和研究打下坚实的基础。

中国大学数学分析_8

一、多元函数的连续性与偏导数

多元函数的连续性：若函数f(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内的所有点(x,y)都满足：
limf(x,y)=f(x0,y0)
(x,y)->(x0,y0)
则称函数f(x,y)在点P(x0,y0)连续。

多元函数的偏导数：若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内关于x的偏导数存在，则称函数在点(x0,y0)关于x的偏导数为：

f_x(x0,y0)=lim[ f(x0+h,y0)-f(x0,y0) ]/h
h->0+

若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内关于y的偏导数存在，则称函数在点(x0,y0)关于y的偏导数为：

f_y(x0,y0)=lim[ f(x0,y0+k)-f(x0,y0) ]/k
k->0+

二、多元函数的全导数与微分

多元函数的全导数：若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处所有的偏导数都存在且连续，则称函数在点(x0,y0)处可微分，其全导数为：

df(x0,y0)=f_x(x0,y0)dx+f_y(x0,y0)dy

其中dx和dy分别为自变量x和y的增量。

多元函数微分的几何意义：
1. dz是曲面z=f(x,y)在点(x0,y0)处的切平面与z轴正方向所成的夹角；
2. dz是曲面z=f(x,y)在点(x0,y0)处沿切平面的法向量方向的增量。

三、链式法则与隐函数定理

链式法则：若函数z=f(u,v)在点(u0,v0)的某一邻域内可微分，且函数u=g(x,y)和v=h(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内可微分，则函数z=f(g(x,y),h(x,y))在点(x0,y0)可微分，其全导数为：

df(x0,y0)=f_u(u0,v0)du+f_v(u0,v0)dv
= [ f_u(u0,v0)g_x(x0,y0) + f_v(u0,v0)h_x(x0,y0) ]dx
+ [ f_u(u0,v0)g_y(x0,y0) + f_v(u0,v0)h_y(x0,y0) ]dy

隐函数定理：设函数F(x,y,z)=0在点P(x0,y0,z0)处具有连续偏导数，且F_z(x0,y0,z0)≠0，则在点(x0,y0)的某一邻域内，方程F(x,y,z)=0能唯一确定z=f(x,y)，且在点(x0,y0,z0)处可微分，其全导数为：

df(x0,y0)=-F_x/F_zdx - F_y/F_zdy

四、多元函数的极值

多元函数的极值分类：
1. 极大值：若函数f(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内，对于任意一点(x,y)有f(x,y)≤f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为极大值；
2. 极小值：若函数f(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内，对于任意一点(x,y)有f(x,y)≥f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为极小值。

多元函数极值的判定：
1. 必要条件：设函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分，且在P处取得极值，则f_x(x0,y0)=0，f_y(x0,y0)=0；
2. 充分条件：设函数f(x,y)在点P(x0,y0)处具有连续的二阶偏导数，且f_x(x0,y0)=0，f_y(x0,y0)=0，
f_xx(x0,y0)f_yy(x0,y0)-[f_xy(x0,y0)]²>0，则f(x,y)在P处取得极值。

五、二元函数的泰勒公式

二元函数的泰勒公式：
f(x,y)=f(x0,y0)+f_x(x0,y0)(x-x0)+f_y(x0,y0)(y-y0)
+1/2[ f_xx(x0,y0)(x-x0)²+2f_xy(x0,y0)(x-x0)(y-y0)+f_yy(x0,y0)(y-y0)²]
+R₂(x,y)

其中R₂(x,y)为余项，满足：

lim[(x,y)->(x0,y0)]R₂(x,y)/( (x-x0)²+(y-y0)²)=0

六、多元函数的极限

多元函数的极限：设函数f(x,y)在点P(x0,y0)的任意充分小的邻域内有定义，则称数A为函数f(x,y)当(x,y)->(x0,y0)时的极限，记为：

limf(x,y)=A
(x,y)->(x0,y0)

多元函数的极限的求法：
1. 二重极限：先固定其中一个变量，然后将另一个变量趋近于极限值求出一重极限，再将该一重极限作为另一个变量趋近于极限值时的极限；
2. 用夹逼准则求极限。

七、二重积分

二重积分的定义：设函数f(x,y)在有界闭区域D上有定义，将D分成无限小的许多面积为dS的小区域，取每个小区域的中心点(x_i,y_i)，则二重积分的近似值为：

Σf(x_i,y_i)dS

当小区域的面积dS趋近于0时，总面积S=?_Df(x,y)dxdy称为二重积分。

二重积分的性质：
1. 线性性质；
2. 区域可加性；
3. 积分中值定理。

八、二重积分的计算

二重积分的计算：
1. 奇偶性判定；
2. 变量代换；
3. 极坐标系下的计算；
4. 二重积分的换序；
5. 二重积分的应用。

九、三重积分

三重积分的定义：设函数f(x,y,z)在有界闭区域E上有定义，将E分成无限小的许多体积为dV的小立方体，取每个小立方体的中心点(x_i,y_i,z_i)，则三重积分的近似值为：

Σf(x_i,y_i,z_i)dV

当小立方体的体积dV趋近于0时，总体积V=?_Ef(x,y,z)dxdydz称为三重积分。

三重积分的计算：
1. 直角坐标系下的计算；
2. 柱坐标系下的计算；
3. 球坐标系下的计算；
4. 三重积分的应用。