尔雅微积分（三）_1答案(学习通2023完整答案)
尔雅微积分（三）_1答案(学习通2023完整答案)
测试1
1、尔雅,微积完整 , , 下列正确的是
A、
B、分答
C、案学
D、习通
E、答案与不能比较
F、尔雅
G、微积完整
H、分答
2、案学由平面2x+y+z=1与三个坐标平面所围，习通,答案 下列表示错误的是
A、
B、尔雅
C、微积完整
D、分答
E、
F、
G、
H、
3、由柱面及平面z=0、z=2所围， 则三重积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
4、由抛物面与平面所围，则三重积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
5、, ,则下列表示正确的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
6、由抛物面与平面z=0所围立体的体积是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
7、空间物体由曲面与曲面所围，密度为，则它的质量为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
8、L为抛物线上从点O(0,0)到点A(1,1)之间的弧段，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
9、L是从点A（0,0,0）到点B(2,3,4)的直线段， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、10
F、8
10、是平面x+y+z=1在第一卦限部分， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
11、为抛物面, 其密度为, 则其质量为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
12、是球面, 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
13、由曲面、平面x=1及x=2所围， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
14、半径为1、密度为的匀质半球体的质心坐标为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
15、底面半径为Ｒ、高为h、密度为（常数）的匀质圆柱体，旋转轴通过底面圆心且与母线平行，其转惯量等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
16、, 下列正确的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
17、,则三重积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、0
G、
H、
18、, 是曲面在第一卦限内的部分， 则下列错误的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
19、由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
20、Ｓ为平面在第一卦限中部分，则等于
A、
B、
C、3
D、4
E、
F、
G、0
H、
I、
21、S为上半球面，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
22、球面介于平面与部分的面积等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
23、密度为的圆锥面的质点坐标为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
24、密度为的上半球面绕轴的转动惯量等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
25、S为椭球面，则下列等式错误的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
26、L为曲线，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、0
G、
27、L为曲线， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
28、设由曲面所围且在第一卦限部分，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
29、曲线段, 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
30、平面曲线段 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
第5周
测试2
1、为沿抛物线从A(1,-1)到B(1,1)的曲线段，则等于
A、
B、
C、0
D、
E、
F、
G、
2、是螺旋线从到的一段， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
3、是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、-87
F、87
4、是平面曲线，顺时针方向，则等于
A、
B、
C、
D、
E、0
F、
G、
H、
I、
5、是平面曲线，逆时针方向， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
6、是平面曲线从A(-2, 0)到B(2, 0)的曲线段，则等于
A、
B、
C、
D、
E、0
F、
G、
7、是平面上任意一条有向曲线，第二类曲线积分与路径无关，则正确的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
8、的原函数是
A、
B、
C、不存在
D、
E、
F、
G、
9、是平面上不通过原点的简单闭曲线（逆时针方向）， ， 则下列正确的是
A、时，
B、时，
C、时，
D、时，
E、时，
F、时，
G、时，
H、时,
I、时,
10、是 上半球面(上侧)，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
11、是平面x+y+z=1在第一卦限部分（上侧）， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
12、是圆锥面位于部分曲面（上侧）， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
13、设L是从A(0,1,1)到B(2,3,3)的直线段，则第二类曲线积分等于
A、
B、7
C、-7
D、
E、
F、
G、6
H、-6
14、平面有向曲线C为在第一象限内沿上半圆周从O(0,0)到A(2,0)，再沿圆周到B(0,2), 第二类曲线积分, 则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、6
H、-6
15、（平面上）曲线积分与路径无关且, 函数等于
A、
B、
C、1
D、
E、
F、
G、
H、
I、
16、等于
A、4
B、-4
C、2
D、-2
E、8
F、-8
G、9
H、-9
I、6
J、-6
17、设为平面x+y+z=1在第一卦限部分的下侧，第二类曲面积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
18、设为上半球面的下侧，第二类曲面积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、4
L、-4
19、是下半球面上侧，, 则Ｉ等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
20、 设是曲面的内侧，则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
21、曲面Ｓ是柱面介于平面、部分表面的外侧，。 则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
22、等于
A、62
B、-62
C、31
D、-31
E、124
F、-124
G、52
H、-52
23、设闭曲线C为椭圆线, 从x轴正向看它为逆时针方向，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
24、设闭曲线为柱面与平面的交线，从x轴正向看它为逆时针方向，则等于
A、-24
B、24
C、12
D、-12
E、36
F、-36
25、向量场，其旋度为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
26、已知存在函数使得且, 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
27、取,则错误的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、不存在
H、不存在
28、
A、36
B、35
C、9
D、8
E、108
F、107
G、6
H、5
29、Ｃ为平面x+2y+3z+4=0上的一条简单闭曲线，所围平面部分的面积为３；从z轴正方向看曲线C，曲线C绕顺时针方向旋转。则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、84
H、
I、42
J、
30、曲线为yoz平面上从点A(0,1,0)到点B(0,0,1)的一段光滑曲线，曲线为zox平面上从点B(0,0,1)到点C(1,0,0)的一段光滑曲线; 则等于
A、１
B、２
C、-2
D、-1
E、0
F、3
G、-3
第6周
测试3
1、是由平面x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立体的整个表面（内侧）， 则积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
2、是上半球面的上侧，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
3、是抛物面位于部分（下侧）， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
4、向量场在点A(2,1,1)处的散度等于
A、3
B、4
C、2
D、-2
E、-4
F、
5、向量场的旋度等于
A、
B、
C、
D、(常数)
E、
F、
G、
6、是柱面与平面z=0的交线，从z轴的正向看去取逆时针方向， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
7、设,且，则它的Fourier级数在处结论正确的是
A、收敛于0
B、收敛于
C、收敛于
D、不收敛
E、不能确定
F、收敛于
G、收敛于
H、收敛，但是不能计算出该收敛值
I、收敛于
J、收敛于
8、设函数的傅立叶级数展开式为：，则其系数的值为
A、
B、
C、0
D、-1
E、1
F、
G、
H、
I、-2
J、2
9、设的余弦级数为，则等于
A、
B、
C、
D、1
E、
F、
G、-1
H、
I、
J、
10、把函数在［－1，1］上展成余弦级数，利用所得的傅立叶级数，求得级数和为
A、
B、
C、
D、
E、
F、0
G、
H、
I、
J、1
11、函数的傅里叶级数为， 则系数
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
12、函数的正弦级数为, 则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
13、函数的正弦级数为, 为正弦级数的和函数，则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
14、函数在区间上的余弦级数记为,则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
15、函数在区间上的余弦级数记为,则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
16、是函数的正弦级数，是正弦级数的和函数，则
A、时
B、时
C、时
D、时
E、时
F、时
G、时
H、时
17、是函数的余弦级数，是余弦级数的和函数，则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
18、函数且, 函数的傅里叶级数为, 则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
19、周期为的函数的傅里叶级数展开式为, 则系数等于
A、
B、0
C、
D、
E、
F、
G、
20、L是圆周在第一象限部分，,则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
21、设为区域：，三重积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
22、设是从A(0,1,1)到B(2,3,3)的直线段，第二类曲线积分, 则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
23、设为上半球面的下侧，第二类曲面积分则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
24、设是周期函数的傅里叶级数，级数的和函数记为， 则
A、时
B、时
C、
D、
E、
F、时
G、时
H、时
I、时
J、时
25、L是圆周，方向取逆时针方向, .则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
26、为曲面的上侧，。则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
27、,下列正确的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
28、,. 则当a>3时，
A、
B、
C、
D、
E、A不存在
F、
G、
H、
I、
J、
K、
29、设 ,是的以为周期的傅里叶级数．则等于
A、
B、
C、
D、
E、0
F、
G、
H、
I、
30、设曲线L为圆柱面与平面的交线，从z轴正向往负向看，L是逆时针的，空间第二型曲线积分.则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
期末考试
2018－2019学年第一学期《微积分3》期末考试试卷
1、, 则三重积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
2、, 则三重积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
3、L上从点A(0, 1, -5)到点B(-2,5,-11)的直线， 则第一类曲线积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
4、是圆锥位于之间的部分曲面， 则第一类曲面积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
5、是曲面位于部分（上侧）， 则第二类曲面积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
6、是平面x+y+z=1位于第一卦限的部分（下侧）， 则第二类曲面积分等于
A、
B、
C、0
D、
E、
F、
G、
7、L是平面曲线，则第一类曲线积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、不能确定；
8、是抛物面位于部分， 则第一类曲面积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
9、是平面区域的边界线（逆时针方向），则第二类曲线积分等于
A、
B、
C、
D、
E、0
F、
G、
10、已知且第二类曲线积分与积分路径无关，则等于
A、
B、
C、
D、不存在
E、
F、
G、
11、, 则
A、
B、
C、
D、
E、
F、无意义
12、已知级数是周期函数 的傅里叶级数, 级数的和函数为. 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
13、设在区间上,而函数的正弦级数的和函数为, 则 等于
A、0
B、
C、3
D、
E、
F、
G、
14、是定义在区间上函数的傅里叶级数, 则系数等于
A、
B、
C、
D、
E、0
F、
G、
15、是柱体的表面（外侧）， 则第二类曲面积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
16、设函数f(u)有连续的一阶导函数， A(1,1)及B(3,3), L是以直线段AB为直径的左上半个圆弧、从A到B; , 则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
17、L是圆周曲线, 且从z轴正向看去L取逆时针方向， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
18、函数f(x)是一个以4为周期函数， 且, 是f(x)的傅里叶级数，则系数等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
19、, 三重积分在球面坐标系下的累次积分为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
20、曲面是锥面，其面密度，则锥面的质量中心是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
21、设区域由平面和围成，则三重积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
22、设区域为，则三重积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
23、设有空间区域, ; 则下列选项正确的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
24、设有空间区域; 则下列选项中错误的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
25、设区域由曲面和围成，则三重积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
26、设为平面中的曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面围成的区域，则三重积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
27、设为锥面在柱体内的部分，则曲面积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
28、设有上半球面; 为在第一卦限部分; 则下列选项正确的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
29、设有上半球面; 则下列选项中错误的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
30、设为上半球面的上侧，则曲面积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
31、设为圆柱面介于平面和之间部分的外侧，则曲面积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
32、设平面曲线为下半圆，则曲线积分的值为 .
A、
B、
C、
D、
E、
F、
33、设平面曲线的方程为,起点终点，则曲线积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
34、设为圆周曲线(逆时针方向）在第一象限部分，则曲线积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
35、设是以点为圆心，为半径的圆周曲线，，取逆时针方向，则曲线积分的值为.
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
36、设是平面与柱面的交线，从轴的正向往负向看去，为逆时针方向，则曲线积分 的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
37、设是平面与柱面的交线，从轴的正向往负向看去，为顺时针方向，则曲线积分 的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
38、设. 将展开成周期为的余弦级数. 则下列选项成立的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
39、设函数的傅里叶级数，. 则下列选项成立的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
40、设，令. 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
41、计算,其中由,所围区域
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
42、由曲线所围图形的面积
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
43、设曲线， 则的值等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
44、设：圆顺时针方向一周，则曲线积的值
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
45、设为，其面积为,则的值
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
46、设是圆柱面与所围圆柱的外侧，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
47、设：（内侧），则曲面积分的值等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
48、设逆进针一周，则积分的值等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
49、设,记的长度为, 则积分的值
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、?
J、
50、求曲面上点处切平面与曲面所围空间区域的体积
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
51、已知曲线积分与路径无关，则依次为多少
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
52、已知内侧，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
53、是从点沿平面曲线到点的曲线段， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
54、函数在上余弦级数的和函数为，则的周期为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
55、设的傅里叶级数展开式为，则其中的值
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
56、求值，其中为由与所确定区域D的正向边界
A、
B、
C、?
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
57、求曲线积分,其中为正向椭圆
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
58、设:， 则曲面积分的值等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
59、设函数具有连续的导数，对于任何围绕原点的分段光滑简单闭曲线, 积分的值恒为同一个常数， 则函数为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
60、是周期为的周期函数， 且，的傅里叶级数为， 傅里时级数的和函数为， 则下列正确的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
期末考试
2018－2019学年第一学期《微积分3》期末考试试卷
1、, 则三重积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
2、, 则三重积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
3、L上从点A(0, 1, -5)到点B(-2,5,-11)的直线， 则第一类曲线积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
4、是圆锥位于之间的部分曲面， 则第一类曲面积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
5、是曲面位于部分（上侧）， 则第二类曲面积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
6、是平面x+y+z=1位于第一卦限的部分（下侧）， 则第二类曲面积分等于
A、
B、
C、0
D、
E、
F、
G、
7、L是平面曲线，则第一类曲线积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、不能确定；
8、是抛物面位于部分， 则第一类曲面积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
9、是平面区域的边界线（逆时针方向），则第二类曲线积分等于
A、
B、
C、
D、
E、0
F、
G、
10、已知且第二类曲线积分与积分路径无关，则等于
A、
B、
C、
D、不存在
E、
F、
G、
11、, 则
A、
B、
C、
D、
E、
F、无意义
12、已知级数是周期函数 的傅里叶级数, 级数的和函数为. 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
13、设在区间上,而函数的正弦级数的和函数为, 则 等于
A、0
B、
C、3
D、
E、
F、
G、
14、是定义在区间上函数的傅里叶级数, 则系数等于
A、
B、
C、
D、
E、0
F、
G、
15、是柱体的表面（外侧）， 则第二类曲面积分等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
16、设函数f(u)有连续的一阶导函数， A(1,1)及B(3,3), L是以直线段AB为直径的左上半个圆弧、从A到B; , 则
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
17、L是圆周曲线, 且从z轴正向看去L取逆时针方向， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
18、函数f(x)是一个以4为周期函数， 且, 是f(x)的傅里叶级数，则系数等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
19、, 三重积分在球面坐标系下的累次积分为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
20、曲面是锥面，其面密度，则锥面的质量中心是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
21、设区域由平面和围成，则三重积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
22、设区域为，则三重积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
23、设有空间区域, ; 则下列选项正确的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
24、设有空间区域; 则下列选项中错误的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
25、设区域由曲面和围成，则三重积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
26、设为平面中的曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面围成的区域，则三重积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
27、设为锥面在柱体内的部分，则曲面积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
28、设有上半球面; 为在第一卦限部分; 则下列选项正确的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
29、设有上半球面; 则下列选项中错误的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
30、设为上半球面的上侧，则曲面积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
31、设为圆柱面介于平面和之间部分的外侧，则曲面积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
32、设平面曲线为下半圆，则曲线积分的值为 .
A、
B、
C、
D、
E、
F、
33、设平面曲线的方程为,起点终点，则曲线积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
34、设为圆周曲线(逆时针方向）在第一象限部分，则曲线积分的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
35、设是以点为圆心，为半径的圆周曲线，，取逆时针方向，则曲线积分的值为.
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
36、设是平面与柱面的交线，从轴的正向往负向看去，为逆时针方向，则曲线积分 的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
37、设是平面与柱面的交线，从轴的正向往负向看去，为顺时针方向，则曲线积分 的值为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
38、设. 将展开成周期为的余弦级数. 则下列选项成立的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
39、设函数的傅里叶级数，. 则下列选项成立的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
40、设，令. 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
41、计算,其中由,所围区域
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
42、由曲线所围图形的面积
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
43、设曲线， 则的值等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
44、设：圆顺时针方向一周，则曲线积的值
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
45、设为，其面积为,则的值
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
46、设是圆柱面与所围圆柱的外侧，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
47、设：（内侧），则曲面积分的值等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
48、设逆进针一周，则积分的值等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
49、设,记的长度为, 则积分的值
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、?
J、
50、求曲面上点处切平面与曲面所围空间区域的体积
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
51、已知曲线积分与路径无关，则依次为多少
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
52、已知内侧，则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
53、是从点沿平面曲线到点的曲线段， 则等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
54、函数在上余弦级数的和函数为，则的周期为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
55、设的傅里叶级数展开式为，则其中的值
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
56、求值，其中为由与所确定区域D的正向边界
A、
B、
C、?
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
57、求曲线积分,其中为正向椭圆
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
58、设:， 则曲面积分的值等于
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
59、设函数具有连续的导数，对于任何围绕原点的分段光滑简单闭曲线, 积分的值恒为同一个常数， 则函数为
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
60、是周期为的周期函数， 且，的傅里叶级数为， 傅里时级数的和函数为， 则下列正确的是
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
学习通微积分（三）_1
1. 导数的应用
导数是微积分的基本概念之一，它有着广泛的应用。下面我们来介绍一些导数的应用。
1.1 函数的单调性和极值
函数在某一区间内单调递增或单调递减，可以通过函数的导数来判断。若函数在某点的导数为正，说明该点左侧函数值较小，右侧函数值较大，故函数单调递增；若函数在某点的导数为负，说明该点左侧函数值较大，右侧函数值较小，故函数单调递减。
函数的极值可以通过导数的零点来判断。若函数在某点的导数为零，说明该点可能是函数的极值点，需通过二阶导数检验得出极值。
1.2 函数的凸凹性和拐点
函数在某一区间内凸或凹，可以通过函数的导数和二阶导数来判断。若函数在某点的导数递增，说明该点左侧为函数下凸弧，右侧为函数上凸弧，故函数在该点凹；若函数在某点的导数递减，说明该点左侧为函数上凸弧，右侧为函数下凸弧，故函数在该点凸。
函数的拐点可以通过二阶导数的零点来判断。若函数在某点的二阶导数为零，说明该点可能是函数的拐点，需通过三阶导数检验得出拐点。
2. 微分中值定理
微分中值定理是微积分的重要定理之一，它将导数与函数的变化率联系了起来。
2.1 罗尔定理
罗尔定理是微分中值定理的特例，它只适用于满足两个条件的函数：
- 函数在闭区间$[a,b]$上连续；
- 函数在开区间$(a,b)$上可导，且在$a$和$b$处的导数相等。
罗尔定理的结论是：若函数$f(x)$满足上述条件，且在$a$和$b$处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$，则在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f'(c)=0$。
2.2 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理适用于满足两个条件的函数：
- 函数在闭区间$[a,b]$上连续；
- 函数在开区间$(a,b)$上可导。
拉格朗日中值定理的结论是：若函数$f(x)$满足上述条件，则在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。
2.3 柯西中值定理
柯西中值定理适用于满足两个条件的函数：
- 函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续；
- 函数$f(x)$和$g(x)$在开区间$(a,b)$上可导，且在$(a,b)$内导数$g'(x)\\neq0$。
柯西中值定理的结论是：若函数$f(x)$和$g(x)$满足上述条件，则在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$\\frac{ f(b)-f(a)}{ g(b)-g(a)}=\\frac{ f'(c)}{ g'(c)}$。
3. 泰勒公式
泰勒公式是微积分中的重要公式，它将一个函数在某点的导数展开成无穷级数的形式。
3.1 带有拉格朗日余项的泰勒公式
设$f(x)$在$x_0$处具有$n+1$阶导数，则$f(x)$在$x_0$处的泰勒公式为：
$$f(x)=\\sum_{ k=0}^n\\frac{ f^{ (k)}(x_0)}{ k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$$其中$R_n(x)$为拉格朗日余项，具体形式为：
$$R_n(x)=\\frac{ f^{ (n+1)}(c)}{ (n+1)!}(x-x_0)^{ n+1}$$其中$c$满足$x_0 有时候泰勒公式的余项可以用佩亚诺余项来表示。对于一些特殊的函数，其余项的佩亚诺形式要比拉格朗日形式更加简洁。 设$f(x)$在$x_0$处具有$n+1$阶导数，则$f(x)$在$x_0$处的泰勒公式为： $$其中$o((x-x_0)^n)$表示无穷小，可以用于粗略估计余项的大小。 下面我们通过一些实例来深入理解导数和微分中值定理的应用。 证明函数$f(x)=x^3-3x+1$在$(-\\infty,+\\infty)$内至少有一个零点。 解答： 首先，我们有$f(-2)=-9<0$，$f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$，$f(2)=5>0$。因此，函数$f(x)$在区间$(-2,0)$和$(1,2)$内单调递增，在区间$(-\\infty,-2)$和$(0,1)$内单调递减。 由罗尔定理，我们知道函数$f(x)$在区间$(-2,0)$内至少有一个零点，因为$f(-2)<0$，$f(0)>0$，且$f(-2)=f(0)$。同理，函数$f(x)$在区间$(1,2)$内也至少有一个零点，因为$f(1)<0$，$f(2)>0$，且$f(1)=f(2)$。因此，函数$f(x)$在$(-\\infty,+\\infty)$内至少有两个零点。 证明方程$x^3-3x+1=0$在区间$(0,1)$内有且仅有一个实根。 解答： 我们可以通过连续函数的介值定理来证明方程$x^3-3x+1=0$在区间$(0,1)$内有且仅有一个实根。 首先，我们有$f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$。因为$f(x)$在$(-\\infty,+\\infty)$内连续，所以在区间$(0,1)$内也连续。 假设$f(x)$在区间$(0,1)$内有两个不同的实根$x_1$和$x_2$，则由介值定理知道，对于任意的$y\\in(f(x_1),f(x_2))$，都存在一个$x\\in(x_1,x_2)$，使得$f(x)=y$。但是，由于$f(x)$单调递减，所以对于任意的$x\\in(x_1,x_2)$，都有$f(x) 因此，方程$x^3-3x+1=0$在区间$(0,1)$内有且仅有一个实根。 证明当$x>0$时，$\\ln(1+x) 解答： 我们可以通过泰勒公式来证明当$x>0$时，$\\ln(1+x) 首先，我们有$f(0)=\\ln1=0$，$f'(x)=\\frac{ 1}{ 1+x}>0$，$f''(x)=-\\frac{ 1}{ (1+x)^2}<0$。因此，函数$f(x)=\\ln(1+x)$在$x=0$处取得最小值。 根据带有拉格朗日余项的泰勒公式，我们可以将$f(x)$在$x=0$处展开： $$其中$0 因为$x>0$，所以$c^3<1$。因此： $$因此，当$x>0$时，$\\ln(1+x) 本文介绍了导数的应用、微分中值定理和泰勒公式，以及它们在实际运用中的例子。导数是微积分的基本概念之一，它可以用来判断函数在某一区间内的单调性和极值，以及函数在某一点的斜率。微分中值定理将导数与函数的变化率联系了起来，可以用来证明函数在某一区间内存在某些性质。泰勒公式将一个函数在某点的导数展开成无穷级数的形式，可以用于近似计算函数的值。 导数是微积分的基本概念之一，它有着广泛的应用。下面我们来介绍一些导数的应用。 函数在某一区间内单调递增或单调递减，可以通过函数的导数来判断。若函数在某点的导数为正，说明该点左侧函数值较小，右侧函数值较大，故函数单调递增；若函数在某点的导数为负，说明该点左侧函数值较大，右侧函数值较小，故函数单调递减。 函数的极值可以通过导数的零点来判断。若函数在某点的导数为零，说明该点可能是函数的极值点，需通过二阶导数检验得出极值。 函数在某一区间内凸或凹，可以通过函数的导数和二阶导数来判断。若函数在某点的导数递增，说明该点左侧为函数下凸弧，右侧为函数上凸弧，故函数在该点凹；若函数在某点的导数递减，说明该点左侧为函数上凸弧，右侧为函数下凸弧，故函数在该点凸。 函数的拐点可以通过二阶导数的零点来判断。若函数在某点的二阶导数为零，说明该点可能是函数的拐点，需通过三阶导数检验得出拐点。 微分中值定理是微积分的重要定理之一，它将导数与函数的变化率联系了起来。 罗尔定理是微分中值定理的特例，它只适用于满足两个条件的函数： 罗尔定理的结论是：若函数$f(x)$满足上述条件，且在$a$和$b$处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$，则在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f'(c)=0$。 拉格朗日中值定理适用于满足两个条件的函数： 拉格朗日中值定理的结论是：若函数$f(x)$满足上述条件，则在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。 柯西中值定理适用于满足两个条件的函数： 柯西中值定理的结论是：若函数$f(x)$和$g(x)$满足上述条件，则在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$\\frac{ f(b)-f(a)}{ g(b)-g(a)}=\\frac{ f'(c)}{ g'(c)}$。 泰勒公式是微积分中的重要公式，它将一个函数在某点的导数展开成无穷级数的形式。 设$f(x)$在$x_0$处具有$n+1$阶导数，则$f(x)$在$x_0$处的泰勒公式为： $$其中$R_n(x)$为拉格朗日余项，具体形式为： $$其中$c$满足$x_0 有时候泰勒公式的余项可以用佩亚诺余项来表示。对于一些特殊的函数，其余项的佩亚诺形式要比拉格朗日形式更加简洁。 设$f(x)$在$x_0$处具有$n+1$阶导数，则$f(x)$在$x_0$处的泰勒公式为： $$其中$o((x-x_0)^n)$表示无穷小，可以用于粗略估计余项的大小。 下面我们通过一些实例来深入理解导数和微分中值定理的应用。 证明函数$f(x)=x^3-3x+1$在$(-\\infty,+\\infty)$内至少有一个零点。 解答： 首先，我们有$f(-2)=-9<0$，$f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$，$f(2)=5>0$。因此，函数$f(x)$在区间$(-2,0)$和$(1,2)$内单调递增，在区间$(-\\infty,-2)$和$(0,1)$内单调递减。 由罗尔定理，我们知道函数$f(x)$在区间$(-2,0)$内至少有一个零点，因为$f(-2)<0$，$f(0)>0$，且$f(-2)=f(0)$。同理，函数$f(x)$在区间$(1,2)$内也至少有一个零点，因为$f(1)<0$，$f(2)>0$，且$f(1)=f(2)$。因此，函数$f(x)$在$(-\\infty,+\\infty)$内至少有两个零点。 证明方程$x^3-3x+1=0$在区间$(0,1)$内有且仅有一个实根。 解答： 我们可以通过连续函数的介值定理来证明方程$x^3-3x+1=0$在区间$(0,1)$内有且仅有一个实根。 首先，我们有$f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$。因为$f(x)$在$(-\\infty,+\\infty)$内连续，所以在区间$(0,1)$内也连续。 假设$f(x)$在区间$(0,1)$内有两个不同的实根$x_1$和$x_2$，则由介值定理知道，对于任意的$y\\in(f(x_1),f(x_2))$，都存在一个$x\\in(x_1,x_2)$，使得$f(x)=y$。但是，由于$f(x)$单调递减，所以对于任意的$x\\in(x_1,x_2)$，都有$f(x) 因此，方程$x^3-3x+1=0$在区间$(0,1)$内有且仅有一个实根。 证明当$x>0$时，$\\ln(1+x) 解答： 我们可以通过泰勒公式来证明当$x>0$时，$\\ln(1+x) 首先，我们有$f(0)=\\ln1=0$，$f'(x)=\\frac{ 1}{ 1+x}>0$，$f''(x)=-\\frac{ 1}{ (1+x)^2}<0$。因此，函数$f(x)=\\ln(1+x)$在$x=0$处取得最小值。 根据带有拉格朗日余项的泰勒公式，我们可以将$f(x)$在$x=0$处展开： $$其中$0 因为$x>0$，所以$c^3<1$。因此： $$因此，当$x>0$时，$\\ln(1+x) 本文介绍了导数的应用、微分中值定理和泰勒公式，以及它们在实际运用中的例子。导数是微积分的基本概念之一，它可以用来判断函数在某一区间内的单调性和极值，以及函数在某一点的斜率。微分中值定理将导数与函数的变化率联系了起来，可以用来证明函数在某一区间内存在某些性质。泰勒公式将一个函数在某点的导数展开成无穷级数的形式，可以用于近似计算函数的值。3.2 带有佩亚诺余项的泰勒公式
4. 应用实例
4.1 例题一
4.2 例题二
4.3 例题三
5. 总结
学习通微积分（三）_1
1. 导数的应用
1.1 函数的单调性和极值
1.2 函数的凸凹性和拐点
2. 微分中值定理
2.1 罗尔定理
2.2 拉格朗日中值定理
2.3 柯西中值定理
3. 泰勒公式
3.1 带有拉格朗日余项的泰勒公式
3.2 带有佩亚诺余项的泰勒公式
4. 应用实例
4.1 例题一
4.2 例题二
4.3 例题三
5. 总结
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