超星解析几何_5期末答案(学习通2023完整答案)
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第一章单元测验
1、设向量a，何期b都是末答非零向量，等式|a+b|=|a-b|恒成立的案学条件是：
A、a，习通b共线
B、完整a，答案b共面
C、超星a，解析b垂直
D、何期a，末答b平行
2、案学设a，习通b为不共线的完整两个向量, 如果 ka+b与 a+kb共线，则k=:
A、0
B、1或-1
C、2或-2
D、任意实数
3、在直角坐标系下，已知O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则四面体OABC的体积是:
A、1
B、1/3
C、1/6
D、3
4、已知向量|a|=2，向量a在向量b上的射影为1，则向量a与向量b的夹角为：
A、π/3
B、2π/3
C、π/3或2π/3
D、π/6
5、若向量线性相关，k为小于n的正整数，则下列可以确定正确的是：
A、线性相关
B、线性相关
C、线性无关
D、线性无关
第一章作业
1、请大家谈谈对坐标系的理解，并说明直角坐标系有什么优势。
第九周 空间直线与点的相关位置、空间两直线的相关位置、平面束
第二章、第三章单元测验
1、球坐标系里方程=表示的图形是：
A、一条射线
B、一个半平面
C、一个圆锥面（只有一腔）
D、一个半球面
2、用截割法研究曲面，可发现曲面的图形为
A、旋转椭球面
B、旋转抛物面
C、旋转双曲面
D、球面
3、参数方程,,,化为一般方程为
A、
B、
C、
D、
4、坐标原点到平面的距离为
5、平面与坐标轴围成的四面体体积为
6、若平面与平面互相垂直，则k=
7、直线与平面的相关位置是
8、直线与直线间的距离为
9、点到直线的距离为
10、若直线与平面垂直，则m=
作业
1、归纳出空间中平面与直线的相互位置关系的判定，并列出所涉及的夹角、距离等的定义及计算.
期终考试
期终考试
1、非零向量a与b满足什么条件一定有|a-b|=|a|+|b|
A、向量a与b共线且方向相反
B、向量a与b共线且方向相同
C、向量a与b不共线
D、向量a与b互相垂直
2、非零向量a与b满足什么条件时有
A、非零向量a与b垂直
B、非零向量a与b共线
C、非零向量a与b共面
D、等式不可能成立
3、给定平面π:x+y-2z+1=0,与两点A(1,1,0)，B(0,1,2)，则平面π与两点的位置关系是
A、点A,B在平面π的两侧
B、点A,B在平面π的同侧
C、点A,B均在平面π上
D、点A,B中有一点在平面π上
4、直线x=1+t,y=1-2t,z=-3+t与平面x+y+z-1=0的位置关系
A、相交
B、平行
C、直线在平面上
D、不能判定
5、方程x=acosθ，y=asinθ，z=bθ，（-∞<θ<+∞）表示的图形为
A、球面
B、圆柱面
C、圆
D、圆柱螺旋线
6、曲线绕z轴旋转所得旋转曲面方程和它所对应的图形是什么
A、,图形是旋转抛物面
B、，图形是圆柱面
C、，图形是旋转抛物面
D、,图形为环面
7、下面关于直母线叙述错误的是
A、单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面
B、双曲抛物面上异族的任意两直母线必异面
C、单叶双曲面上同族的任意两直母线必异面
D、双曲抛物面上同族的任意两直母线必异面
8、二次曲线在点(1,-1)的切线方程为
A、x-2y-3=0
B、x-2y+3=0
C、2x-y-3=0
D、2x-y+3=0
9、已知二次曲线有一个中心直线，则满足条件
A、
B、
C、
D、
10、二次曲线的主直径为
A、
B、
C、
D、
11、方程表示的曲面为锥面
12、对于非零向量，满足
13、原点到平面的距离为2
14、双曲抛物面是中心二次曲面
15、二次曲线的奇异点就是二次曲线的中心
学习通解析几何_5
一、向量的坐标表示
向量是一个大小和方向都确定的量，可以用坐标表示。
设向量$\\vec{ a}$的起点坐标为$(x_1,y_1)$，终点坐标为$(x_2,y_2)$，则向量$\\vec{ a}$的坐标表示为：
$$\\vec{ a}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$例如，向量$\\vec{ AB}$的起点坐标为$A(x_1,y_1)$，终点坐标为$B(x_2,y_2)$，则向量$\\vec{ AB}$的坐标表示为：
$$\\vec{ AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$注意：向量的坐标表示不依赖于起点位置，只依赖于终点位置。
二、向量的加减法
向量的加减法与平面直角坐标系中的向量加减法类似，只需将向量的坐标表示中对应的分量相加减即可。
设向量$\\vec{ a}$的坐标表示为$(x_1,y_1)$，向量$\\vec{ b}$的坐标表示为$(x_2,y_2)$，则向量$\\vec{ a}+\\vec{ b}$的坐标表示为：
$$(x_1+x_2,y_1+y_2)$$例如，向量$\\vec{ AB}$的坐标表示为$(x_1,y_1)$，向量$\\vec{ CD}$的坐标表示为$(x_2,y_2)$，则向量$\\vec{ AB}+\\vec{ CD}$的坐标表示为：
$$(x_1+x_2,y_1+y_2)$$向量的减法也可类似地表示。
三、向量的数乘
定义：向量$\\vec{ a}$与实数$k$的积，记为$k\\vec{ a}$，是一个新的向量，它的大小是原来向量的大小的$k$倍，方向与原来向量的方向相同（$k>0$），或相反（$k<0$）。
向量的数乘可以用坐标表示，设向量$\\vec{ a}$的坐标表示为$(x,y)$，则$k\\vec{ a}$的坐标表示为：
$$(kx,ky)$$例如，向量$\\vec{ AB}$的坐标表示为$(x,y)$，则$2\\vec{ AB}$的坐标表示为：
$$(2x,2y)$$四、向量共线、垂直判定
定义：两个非零向量$\\vec{ a}$和$\\vec{ b}$共线，当且仅当存在实数$k$，使得$\\vec{ a}=k\\vec{ b}$或$\\vec{ b}=k\\vec{ a}$，$k$为任意实数。
定义：两个非零向量$\\vec{ a}$和$\\vec{ b}$垂直，当且仅当$\\vec{ a}\\cdot \\vec{ b}=0$，$\\vec{ a}\\cdot \\vec{ b}$表示向量$\\vec{ a}$和向量$\\vec{ b}$的数量积。
向量的共线、垂直判定可以用坐标表示。
1. 向量共线判定
设向量$\\vec{ a}$的坐标表示为$(x_1,y_1)$，向量$\\vec{ b}$的坐标表示为$(x_2,y_2)$，则向量$\\vec{ a}$和向量$\\vec{ b}$共线的充分必要条件是：
$$\\dfrac{ x_1}{ x_2}=\\dfrac{ y_1}{ y_2}$$注意：如果$x_2=0$或$y_2=0$，则不能使用上述公式。
2. 向量垂直判定
设向量$\\vec{ a}$的坐标表示为$(x_1,y_1)$，向量$\\vec{ b}$的坐标表示为$(x_2,y_2)$，则向量$\\vec{ a}$和向量$\\vec{ b}$垂直的充分必要条件是：
$$x_1x_2+y_1y_2=0$$五、平面向量的模长和单位向量
定义：向量$\\vec{ a}$的模长，记为$|\\vec{ a}|$，表示向量$\\vec{ a}$的大小。
向量的模长可以用勾股定理计算，设向量$\\vec{ a}$的坐标表示为$(x,y)$，则：
$$|\\vec{ a}|=\\sqrt{ x^2+y^2}$$定义：向量$\\vec{ a}$的单位向量，记为$\\hat{ a}$，是一个新的向量，它与原来向量的方向相同，但大小为1。
向量的单位向量可以用坐标表示，设向量$\\vec{ a}$的坐标表示为$(x,y)$，则$\\hat{ a}$的坐标表示为：
$$\\hat{ a}=\\dfrac{ \\vec{ a}}{ |\\vec{ a}|}=\\dfrac{ (x,y)}{ \\sqrt{ x^2+y^2}}$$例如，向量$\\vec{ AB}$的坐标表示为$(x,y)$，则$\\hat{ AB}$的坐标表示为：
$$\\hat{ AB}=\\dfrac{ (x,y)}{ \\sqrt{ x^2+y^2}}$$六、向量的投影
定义：向量$\\vec{ a}$在向量$\\vec{ b}$上的投影，记为$\\mathrm{ proj}_{ \\vec{ b}}\\vec{ a}$，是一个新的向量，它与向量$\\vec{ b}$同向，大小为$|\\vec{ a}|\\cos\\theta$，其中$\\theta$表示向量$\\vec{ a}$与向量$\\vec{ b}$的夹角。
向量的投影可以用坐标表示，设向量$\\vec{ a}$的坐标表示为$(x_1,y_1)$，向量$\\vec{ b}$的坐标表示为$(x_2,y_2)$，则$\\mathrm{ proj}_{ \\vec{ b}}\\vec{ a}$的坐标表示为：
$$\\mathrm{ proj}_{ \\vec{ b}}\\vec{ a}=\\dfrac{ \\vec{ a}\\cdot \\vec{ b}}{ \\vec{ b}\\cdot \\vec{ b}}\\vec{ b}=\\dfrac{ x_1x_2+y_1y_2}{ x_2^2+y_2^2}(x_2,y_2)$$例如，向量$\\vec{ AB}$的坐标表示为$(x_1,y_1)$，向量$\\vec{ CD}$的坐标表示为$(x_2,y_2)$，则$\\mathrm{ proj}_{ \\vec{ CD}}\\vec{ AB}$的坐标表示为：
$$\\mathrm{ proj}_{ \\vec{ CD}}\\vec{ AB}=\\dfrac{ x_1x_2+y_1y_2}{ x_2^2+y_2^2}(x_2,y_2)$$七、向量的夹角
定义：向量$\\vec{ a}$和向量$\\vec{ b}$的夹角，记为$\\theta$，是一个实数，满足$0\\leqslant \\theta\\leqslant \\pi$，且$\\cos\\theta=\\dfrac{ \\vec{ a}\\cdot \\vec{ b}}{ |\\vec{ a}||\\vec{ b}|}$。
向量的夹角可以用坐标表示，设向量$\\vec{ a}$的坐标表示为$(x_1,y_1)$，向量$\\vec{ b}$的坐标表示为$(x_2,y_2)$，则向量$\\vec{ a}$和向量$\\vec{ b}$的夹角$\\theta$的余弦值为：
$$\\cos\\theta=\\dfrac{ x_1x_2+y_1y_2}{ \\sqrt{ x_1^2+y_1^2}\\sqrt{ x_2^2+y_2^2}}$$例如，向量$\\vec{ AB}$的坐标表示为$(x_1,y_1)$，向量$\\vec{ CD}$的坐标表示为$(x_2,y_2)$，则向量$\\vec{ AB}$和向量$\\vec{ CD}$的夹角$\\theta$的余弦值为：
$$\\cos\\theta=\\dfrac{ x_1x_2+y_1y_2}{ \\sqrt{ x_1^2+y_1^2}\\sqrt{ x_2^2+y_2^2}}$$八、小结
本文介绍了向量的坐标表示、加减法、数乘、共线、垂直判定、模长和单位向量、投影、夹角等概念及其坐标表示方法。向量是解析几何中的重要概念，在计算机图形学、物理学等领域都有广泛应用。
