超星线性代数解题技巧及典型题解析期末答案(学习通2023完整答案)

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学习通线性代数解题技巧及典型题解析

线性代数是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。学习通提供了线性代数课程，在学习的过程中，我们需要掌握一些解题技巧。本文将介绍一些常用的线性代数解题技巧，并结合一些典型题目进行解析。

一、矩阵的初等变换

矩阵的初等变换有三种：交换矩阵的两行，用一个数乘以某一行，把某一行加上另一行的若干倍。对于一个线性方程组，我们可以通过矩阵的初等变换，将其转化为行简化阶梯形矩阵，从而求出其解。

例1

求解以下线性方程组：

解：将方程组表示为增广矩阵的形式：

对矩阵进行初等变换：

此时，矩阵已经被转化为了行简化阶梯形矩阵。将其表示为方程组形式：

解得：

二、矩阵的逆

矩阵的逆是指对于一个方阵A，存在一个方阵B使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。如果矩阵A的行列式不为0，则A可逆。矩阵的逆可以用来求解线性方程组。

例2

求解以下线性方程组：

解：将方程组表示为增广矩阵的形式：

计算矩阵A的行列式：

因为A的行列式不为0，所以A可逆。接下来求A的逆矩阵：

使用高斯-约旦消元法进行初等变换，求出A的逆矩阵：

将增广矩阵表示为方程组形式：

可得：

三、特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。矩阵的特征值是指在矩阵A与它的特征向量相乘时，特征向量的方向不变，只是在方向上被拉伸或缩短了。因此，当矩阵A与其特征向量相乘时，相当于特征向量被矩阵A的特征值所缩放。

例3

求解以下矩阵A的特征值和特征向量：

解：根据特征值的定义，我们可以列出方程：

其中，I为单位矩阵，lambda为矩阵A的特征值。我们要求的是非零解，因此需要满足：

根据上式求解lambda：

解得特征值lambda1=3，lambda2=1。

接下来，将lambda带入(A-lambda*I)x=0中，解出特征向量：

当lambda=3时，有：

解得特征向量x1=(1,-1)。

当lambda=1时，有：

解得特征向量x2=(1,1)。

四、矩阵的特征分解

矩阵的特征分解是指将一个方阵分解为特征向量和特征值的形式。任何一个对称矩阵都可以分解为特征向量和特征值的形式。

例4

将以下对称矩阵进行特征分解：

解：首先求解矩阵的特征值和特征向量：

根据特征值的定义，我们可以列出方程：

其中，I为单位矩阵，lambda为矩阵A的特征值。我们要求的是非零解，因此需要满足：

根据上式求解lambda：

解得特征值lambda1=6，lambda2=3，lambda3=3。

接下来，将lambda带入(A-lambda*I)x=0中，解出特征向量：

当lambda=6时，有：

解得特征向量x1=(1,1,1)。

当lambda=3时，有：

解得特征向量x2=(1,0,-1)和x3=(1,-2,1)。

矩阵的特征分解为：

五、SVD分解

SVD分解是指将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，其中一个矩阵是特征向量矩阵，一个矩阵是特征值矩阵，另一个矩阵是转置后的特征向量矩阵。

例5

将以下矩阵进行SVD分解：

解：根据SVD分解的定义，矩阵A可以表示为：

其中，U和V'是正交矩阵，S是奇异值矩阵。下面分别求解U、S和V'。

首先求解S。计算A的转置矩阵A'：

计算A*A'的特征值和特征向量：

根据特征值的定义，我们可以列出方程：

其中，I为单位矩阵，lambda为矩阵A*A'的特征值。我们要求的是非零解，因此需要满足：

根据上式求解lambda：

解得特征值lambda1=3，lambda2=1，lambda3=1。

接下来，将lambda带入(A*A'-lambda*I)x=0中，解出特征向量：

当lambda=3时，有：

解得特征向量x1=(1,1,1)。

当lambda=1时，有：

解得特征向量x2=(-1,0,1)和x3=(0,1,1)。

对特征向量进行归一化处理：

奇异值矩阵S为：

求解U和V'。将A*A'的特征向量排列成U的列向量：

将A'的特征向量排列成V的列向量：

因为V'等于V的转置，所以：

因此，A的SVD分解为：

本文介绍了线性代数中的一些解题技巧，并结合典型题目进行了解析。希望读者通过学习本文，能够掌握线性代数中的一些基本概念和方法，从而提高解题能力。

学习通线性代数解题技巧及典型题解析

线性代数是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。学习通提供了线性代数课程，在学习的过程中，我们需要掌握一些解题技巧。本文将介绍一些常用的线性代数解题技巧，并结合一些典型题目进行解析。

一、矩阵的初等变换

矩阵的初等变换有三种：交换矩阵的两行，用一个数乘以某一行，把某一行加上另一行的若干倍。对于一个线性方程组，我们可以通过矩阵的初等变换，将其转化为行简化阶梯形矩阵，从而求出其解。

例1

求解以下线性方程组：

解：将方程组表示为增广矩阵的形式：

对矩阵进行初等变换：

此时，矩阵已经被转化为了行简化阶梯形矩阵。将其表示为方程组形式：

解得：

二、矩阵的逆

矩阵的逆是指对于一个方阵A，存在一个方阵B使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。如果矩阵A的行列式不为0，则A可逆。矩阵的逆可以用来求解线性方程组。

例2

求解以下线性方程组：

解：将方程组表示为增广矩阵的形式：

计算矩阵A的行列式：

因为A的行列式不为0，所以A可逆。接下来求A的逆矩阵：

使用高斯-约旦消元法进行初等变换，求出A的逆矩阵：

将增广矩阵表示为方程组形式：

可得：

三、特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。矩阵的特征值是指在矩阵A与它的特征向量相乘时，特征向量的方向不变，只是在方向上被拉伸或缩短了。因此，当矩阵A与其特征向量相乘时，相当于特征向量被矩阵A的特征值所缩放。

例3

求解以下矩阵A的特征值和特征向量：

解：根据特征值的定义，我们可以列出方程：

其中，I为单位矩阵，lambda为矩阵A的特征值。我们要求的是非零解，因此需要满足：

根据上式求解lambda：

解得特征值lambda1=3，lambda2=1。

接下来，将lambda带入(A-lambda*I)x=0中，解出特征向量：

当lambda=3时，有：

解得特征向量x1=(1,-1)。

当lambda=1时，有：

解得特征向量x2=(1,1)。

四、矩阵的特征分解

矩阵的特征分解是指将一个方阵分解为特征向量和特征值的形式。任何一个对称矩阵都可以分解为特征向量和特征值的形式。

例4

将以下对称矩阵进行特征分解：

解：首先求解矩阵的特征值和特征向量：

根据特征值的定义，我们可以列出方程：

其中，I为单位矩阵，lambda为矩阵A的特征值。我们要求的是非零解，因此需要满足：

根据上式求解lambda：

解得特征值lambda1=6，lambda2=3，lambda3=3。

接下来，将lambda带入(A-lambda*I)x=0中，解出特征向量：

当lambda=6时，有：

解得特征向量x1=(1,1,1)。

当lambda=3时，有：

解得特征向量x2=(1,0,-1)和x3=(1,-2,1)。

矩阵的特征分解为：

五、SVD分解

SVD分解是指将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，其中一个矩阵是特征向量矩阵，一个矩阵是特征值矩阵，另一个矩阵是转置后的特征向量矩阵。

例5

将以下矩阵进行SVD分解：

解：根据SVD分解的定义，矩阵A可以表示为：

其中，U和V'是正交矩阵，S是奇异值矩阵。下面分别求解U、S和V'。

首先求解S。计算A的转置矩阵A'：

计算A*A'的特征值和特征向量：

根据特征值的定义，我们可以列出方程：

其中，I为单位矩阵，lambda为矩阵A*A'的特征值。我们要求的是非零解，因此需要满足：

根据上式求解lambda：

解得特征值lambda1=3，lambda2=1，lambda3=1。

接下来，将lambda带入(A*A'-lambda*I)x=0中，解出特征向量：

当lambda=3时，有：

解得特征向量x1=(1,1,1)。