尔雅离散数学_11期末答案(学习通2023题目答案)

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第2讲 命题逻辑

第2讲单元测试

1、尔雅下列语句中哪些是离散命题？
A、x-y=10。数学
B、期末我可以过来么？
C、答案真辛苦啊！学习
D、通题除非下雨，目答苗苗一定会去图书馆看书。尔雅

2、离散下列语句中是数学原子命题的是？
A、只要是期末在教室，就不允许吸烟。答案
B、学习红色和蓝色在一起可以调配成紫色。通题
C、如果米老鼠和机器猫都是不存在的，那么很多孩子都被欺骗了。
D、2是素数当且仅当乌龟会飞。

3、下述命题的真值为假的是？
A、如果1+1=3，那么太阳从东方升起。
B、如果1+1=3，那么太阳从西方升起。
C、如果太阳从东方升起，那么1+1=3。
D、如果太阳从西方升起，那么1+1=3。

4、下述真值表表示的命题是（ ）。 Input Output p q r T T T T T T F F T F T T T F F T F T T T F T F T F F T T F F F T
A、(qTr)T(p∧q)
B、(qTr)T(p∨q)
C、(p∨q)T(qTr)
D、(p∧q)T(qTr)

5、以下有（ ）个命题公式是析取范式形式。 ? p∧~q ? ~p∨q ? r ? p∧(~q∨~q)
A、1
B、2
C、3
D、4

6、以下命题公式中，( )是矛盾式。
A、~(pTq)∧q
B、rT((pTq)∨~q)
C、p∧(q∨r)
D、p∧(q Tr)

7、以下哪一个是 (r ? q) T (~p∧p) 的成真指派？
A、010
B、111
C、000
D、011
E、101

8、以下逻辑公式中，（ ）是(~p∨~q)T(p?~q)的主析取范式。
A、(p∧q)∨(p∧~q)∨(~p∧q)
B、p∨q
C、(p∧q)∨(p∧~q)
D、(p∧~q)∨(~p∧q)

9、( )不是正确的推理形式。
A、前提： ~p∧q, p∨~r, r∨s, sTu 结论： u
B、前提： p∨q, p?r, ~q∨s 结论： s∨r
C、前提： pT(qTr) 结论： (pTq)T(pTr)
D、前提： (p∧q)Tr, ~r∨s, ~s, p 结论： q

10、(p∨q)Tr o (pTr)∧(qTr) ？

11、设p: 发生了堵车，q: 他起晚了，r: 他迟到了，则用逻辑符号表示命题“今天虽然他起晚了，但是没有堵车，所以他没有迟到。”为

12、p∨q与~q∨~r归结的结果是p∨r。

第3讲 谓词逻辑

第3讲单元测试

1、以下（ ）不是的子公式。
A、
B、
C、
D、

2、在谓词公式("x)(F(x)TG(y))T($y)(H(x)∧L(x, y, z))中，("x)的辖域是（ ）
A、(F(x)TG(y))
B、F(x)
C、(F(x)TG(y))T($y)(H(x)∧L(x, y, z))
D、("x)(F(x)

3、以下谓词公式中，( )是逻辑有效式。
A、"x Q(x) T ($x Q(x)∨"y S(y) )
B、$x(A(x)TB) ? $xA(x)TB
C、$x(A(x)∧B(x)) ? $xA(x)∧$xB(x)
D、"x$y P(x,y) T $x"y P(x,y)

4、以下谓词公式中，( )不是逻辑有效式。
A、"x P(x) T ("x P(x)∨$y G(y) )
B、"x(A(x)TB) ? $xA(x)TB
C、"x(A(x)∧B(x)) ? "xA(x)∧"xB(x)
D、"x$y P(x,y) T $x"y P(x,y)

5、以下谓词公式中，( )不是逻辑有效式。
A、($x)(P(x)∧Q(x)) T ($x) P(x)∧($x) Q(x)
B、("x)(P(x)∧Q(x)) T ("x) P(x)∧("x) Q(x)
C、($x)(P(x)∧Q(x)) ? ($x) P(x)∧($x) Q(x)
D、("x)(P(x)∧Q(x)) ? ("x) P(x)∧("x) Q(x)

6、以下谓词公式中，( )不是逻辑有效式。
A、($x) P(x)∨($x) Q(x) T ($x)(P(x)∨Q(x))
B、("x) P(x)∨("x) Q(x) T ("x)(P(x)∨Q(x))
C、($x) P(x)∨($x) Q(x) ? ($x)(P(x)∨Q(x))
D、("x) P(x)∨("x) Q(x) ? ("x)(P(x)∨Q(x))

7、使用下述谓词：P(x): x是熊猫、Q(x): x是飞鸟、R(x): x是绿色的，及量词表示自然语句“没有熊猫是绿色的话，就至少有一只飞鸟存在”为（ ）。
A、~($x)(P(x)∧R(x)) T ($x) Q(x)
B、~($x)(P(x) T R(x)) T ($x) Q(x)
C、~($x)(P(x)∧R(x)) ∧ ($x) Q(x)
D、~($x)(P(x) T R(x)) ∧ ($x) Q(x)

8、与公式("x)(P(x)∧Q(x, y))T($x)R(x, y)等值的是（ ）。
A、("x)(P(x)∧Q(x, z))T($x)R(x, y)
B、("y)(P(y)∧Q(y, y))T($x)R(x, y)
C、("z)(P(z)∧Q(x, y))T($x)R(x, y)
D、("u)(P(u)∧Q(u, z))T($x)R(x, z)

9、谓词公式("x)F(x) T ("x)G(x)的前束范式是( )
A、("x)("y) (F(x) T G(y))
B、($x)("y)(F(x) T G(y))
C、("x)($y) (F(x) T G(y))
D、($x)($y)(F(x) T G(y))

10、谓词公式($x)(($y)Q(y) T P(x))的前束范式是( )。
A、"x"y(Q(y) T P(x))
B、"x$y(Q(y) T P(x))
C、$x"y(Q(y) T P(x))
D、$x$y(Q(y) T P(x))

11、谓词公式($x)F(x) T ($x)G(x)的前束范式是( )。
A、("x)("y) (F(x) T G(y))
B、($x)("y)(F(x) T G(y))
C、("x)($y) (F(x) T G(y))
D、($x)($y)(F(x) T G(y))

12、谓词公式("x)(("y)Q(y) T P(x))的前束范式是( )。
A、"x"y(Q(y) T P(x))
B、"x$y(Q(y) T P(x))
C、$x"y(Q(y) T P(x))
D、$x$y(Q(y) T P(x))

13、( )不是有效的推理。
A、前提：("x)(~P(x)TQ(x)), ("x)~Q(x) 结论：P(a)
B、前提：("x)(P(x)TQ) 结论：("x)P(x)TQ
C、前提：("x)(P(x)∨Q(x)), ("x)(Q(x)T~R(x)) 结论：($x)(R(x)TP(x))
D、前提：("x)(P(x)T(Q(x)∧R(x))), ($x)(P(x)∧S(x)) 结论：("x)(R(x)∧S(x))
E、前提：("x)($y)P(x, y) 结论：("x)($y)($z)(P(x, y)∧P(y, z))
F、前提：("x)P(x)∨("x)Q(x) 结论：("x)(P(x)∨Q(x))
G、前提：("x)(G(x)TH(x))，~($x)(F(x)∧H(x)) 结论：($x)F(x)T($x)G(x)
H、前提：("x)(H(x)TM(x)) 结论：("x)("y)(H(y)∧N(x, y)) T ($y)(M(y)∧N(a, y) )

14、假设论域为正整数，令谓词Odd(x)表示“x是奇数”；Even(x)表示“x是偶数”；Prime(x)表示“x是素数”；Equal(x, y)表示“x=y”；Greater(x, y)表示“x>y”。 则 真值为假。

15、给定解释 I 为： 论域 D=正整数集合， f(x, y)=x+y， 谓词F(x, y)表示x=y， a=2。 那么在这个解释下，($x)("y)("z)F(f(y, z), x) 为真。

16、使用下述谓词：P(x): x高兴、Q(x): x是学生、R(x): x努力学习，及量词表示自然语句“如果所有学生都努力学习，那么张老师就会高兴”为 "x(Q(x)∧R(x)T P(张老师)) 。

第4讲 二元关系

第4讲单元测试(1)

1、令 R 是集合 A 上的关系，则下述陈述中正确的是？ ( )
A、若 R 是非对称的，那么 R 一定是反对称的。
B、若 R 是反对称的，那么 R 一定是非自反的。
C、若 R 是反对称的，那么 R 一定是非对称的。
D、若 R 是非对称的，那么 R 一定是自反的。

2、以下哪个关系不具有反对称性 ( )
A、{ (1,2), (2,3), (3,2)}
B、{ (1,1), (2,2)}
C、{ (1,1), (1,2)}
D、{ (1,2), (2,3), (3,4), (4,1)}

3、以下哪个关系不具有传递性 ？( )
A、{ (1,2), (2,3), (1,3)}
B、{ (1,2), (3,2)}
C、{ (1,1), (2,2)}
D、{ (1,2), (2,3), (3,4), (4,1)}

4、关于下图表示的关系，正确的陈述是（ ）
A、它不满足反对称性。
B、它满足自反性。
C、它满足对称性。
D、它满足传递性。

5、关于下图表示的关系，不正确的陈述是（ ）
A、它不满足传递性。
B、它满足非对称性。
C、它满足反对称性。
D、它满足非自反性。

6、关于如下矩阵表示的关系，不正确的陈述是（ ）
A、它满足传递性。
B、它满足非自反性。
C、它满足反对称性。
D、它满足非对称性。

7、令 R 是集合 A 上的关系，则下述陈述中不正确的是？ ( )
A、若 R 是非对称的，那么 R 可以是自反的。
B、若 R 是非对称的，那么 R 可以是非自反的。
C、若 R 是反对称的，那么 R 可以是自反的。
D、若 R 是反对称的，那么 R 可以是非自反的。

8、假设A={ 1, 2, 3, 4}，B={ a, b, c}，则有 个从A到B的关系。

9、{ (1,1), (2,2)} 具有传递性。

10、{ (1,2), (3,2)} 不具有传递性。

11、若A={ 0, 1, 2, 3, 4, 5}，A 上的关系 R={ (0,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)}，则 A/R= { , { 1, 2}, { 3, 4, 5} } 。

12、若 A={ 1, 2, 3, 4}，P={ { 1,2}, { 3}, { 4}} 是 A 的一个划分，则 P 决定的等价关系是： { (1,1), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4)}。

13、假设|A×A|=16，|A×B|=24，则|B×B|=________

14、有限集合 A 上可以定义 个不同的对称关系，则 A 有 ________ 个元素。

15、有限集合 A 上可以定义 个不同的非自反关系，则 A 有 ________ 个元素。

学习通离散数学_11

在学习通离散数学中，第11章主要介绍了“图与树”的概念和相关算法。

图

图是由一组点和一组连接这些点的边所组成的，通常表示为G=(V,E)，其中V为点集，E为边集。

图的分类

• 无向图：边没有方向的图
• 有向图：边有方向的图
• 简单图：没有重边和自环的图
• 完全图：任意两个点之间都有边的图

图的表示

常用的表示方法有邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵

邻接矩阵是一个二维数组，其中数组的行表示每个点，列表示与该点相连的边。

A   B   C   D    A   0   1   0   1    B   1   0   1   1    C   0   1   0   1    D   1   1   1   0

邻接表

邻接表是由一个数组和一个链表组成，数组中的每个元素表示一个点，链表中存储与该点相连的边。

A ->B ->D    B ->A ->C ->D    C ->B ->D    D ->A ->B ->C

树

树是一种特殊的图，其中没有回路，也就是说，从任意一个点开始，沿着边最多只能到达一个点。

树的定义

一棵有n个结点的树是一个有n-1条边的连通图，其中任意两个结点都有唯一的路径。

树的性质

• 树中任意两个结点之间都有唯一的路径。
• 树中任意一个结点都可以作为根结点。
• 如果一棵树的高度为h，则该树最多有2^h-1个结点。

树的遍历

树的遍历主要有三种方式：先序遍历、中序遍历和后序遍历。

先序遍历

先序遍历的顺序是：根结点、左子树、右子树。

中序遍历

中序遍历的顺序是：左子树、根结点、右子树。

后序遍历

后序遍历的顺序是：左子树、右子树、根结点。

算法

在图和树中，常用的算法有最短路径算法、最小生成树算法和拓扑排序算法。

最短路径算法

最短路径算法主要是解决从一个结点到另一个结点的最短路径问题。常用的算法有Dijkstra算法和Floyd算法。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决从一个结点到其他结点的最短路径问题。它使用一个列表来记录已经找到的最短路径，以及一个队列来记录待处理的结点。具体步骤如下：

1. 将起点加入到已找到的最短路径列表中。
2. 将起点连接的结点加入到待处理队列中。
3. 从待处理队列中找出距离起点最近的结点，将其加入到已找到的最短路径列表中。
4. 更新待处理队列中的结点距离。
5. 重复步骤3-4，直到找到终点或者待处理队列为空。

Floyd算法

Floyd算法是一种动态规划算法，用于解决从一个结点到其他结点的最短路径问题。它使用一个二维数组来记录结点之间的距离，以及一个二维数组来记录每个结点之间的中转结点。具体步骤如下：

1. 初始化距离矩阵和中转矩阵。
2. 对于每一对结点i,j，如果存在结点k，使得从i到j的路径经过k的距离比直接从i到j的距离小，则更新距离矩阵和中转矩阵。
3. 重复步骤2，直到所有结点的距离都已经计算出来。

最小生成树算法

最小生成树算法主要是解决在一个连通加权图中寻找一颗生成树，使得生成树上边的权值之和最小的问题。常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法

Prim算法是一种贪心算法，它从任意一个结点开始，不断地向生成树中加入最短的边，直到生成树包含所有结点为止。具体步骤如下：

1. 将任意一个结点加入到生成树中。
2. 从不在生成树中的结点中，选取一条连接到已经在生成树中的结点中的最短边，将其加入到生成树中。
3. 重复步骤2，直到生成树中包含所有结点。

Kruskal算法

Kruskal算法是一种基于集合的贪心算法，它将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入到生成树中，如果加入一条边会形成环，则舍弃该边。具体步骤如下：

1. 将所有边按照权值从小到大排序。
2. 依次取出最小的边，如果加入该边不会形成环，则将该边加入到生成树中，否则舍弃该边。
3. 重复步骤2，直到生成树中包含所有结点。

拓扑排序算法

拓扑排序算法主要是解决有向无环图的排序问题。对于一个有向无环图，可以将所有结点按照它们之间的依赖关系进行排序，使得每个结点都排在它的前驱结点之后。常用的算法有DFS算法和BFS算法。

DFS算法

DFS算法是一种深度优先搜索算法，它使用一个栈来存储结点，首先将所有入度为0的结点加入到栈中，然后从栈中取出一个结点进行搜索，并将该结点的后继结点的入度减1，如果减1后的入度为0，则将该结点加入到栈中。具体步骤如下：

1. 将所有入度为0的结点加入到栈中。
2. 从栈中取出一个结点，并输出该结点。
3. 将该结点的后继结点的入度减1，如果减1后的入度为0，则将该结点加入到栈中。
4. 重复步骤2-3，直到栈为空。

BFS算法

BFS算法是一种广度优先搜索算法，它使用一个队列来存储结点，首先将所有入度为0的结点加入到队列中，然后从队列中取出一个结点进行搜索，并将该结点的后继结点的入度减1，如果减1后的入度为0，则将该结点加入到队列中。具体步骤如下：

1. 将所有入度为0的结点加入到队列中。
2. 从队列中取出一个结点，并输出该结点。
3. 将该结点的后继结点的入度减1，如果减1后的入度为0，则将该结点加入到队列中。
4. 重复步骤2-3，直到队列为空。

学习通离散数学_11

在学习通离散数学中，第11章主要介绍了“图与树”的概念和相关算法。

图

图是由一组点和一组连接这些点的边所组成的，通常表示为G=(V,E)，其中V为点集，E为边集。

图的分类

• 无向图：边没有方向的图
• 有向图：边有方向的图
• 简单图：没有重边和自环的图
• 完全图：任意两个点之间都有边的图

图的表示

常用的表示方法有邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵

邻接矩阵是一个二维数组，其中数组的行表示每个点，列表示与该点相连的边。

A   B   C   D    A   0   1   0   1    B   1   0   1   1    C   0   1   0   1    D   1   1   1   0

邻接表

邻接表是由一个数组和一个链表组成，数组中的每个元素表示一个点，链表中存储与该点相连的边。

A ->B ->D    B ->A ->C ->D    C ->B ->D    D ->A ->B ->C

树

树是一种特殊的图，其中没有回路，也就是说，从任意一个点开始，沿着边最多只能到达一个点。

树的定义

一棵有n个结点的树是一个有n-1条边的连通图，其中任意两个结点都有唯一的路径。

树的性质

• 树中任意两个结点之间都有唯一的路径。
• 树中任意一个结点都可以作为根结点。
• 如果一棵树的高度为h，则该树最多有2^h-1个结点。

树的遍历

树的遍历主要有三种方式：先序遍历、中序遍历和后序遍历。

先序遍历

先序遍历的顺序是：根结点、左子树、右子树。

中序遍历

中序遍历的顺序是：左子树、根结点、右子树。

后序遍历

后序遍历的顺序是：左子树、右子树、根结点。

算法

在图和树中，常用的算法有最短路径算法、最小生成树算法和拓扑排序算法。

最短路径算法

最短路径算法主要是解决从一个结点到另一个结点的最短路径问题。常用的算法有Dijkstra算法和Floyd算法。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决从一个结点到其他结点的最短路径问题。它使用一个列表来记录已经找到的最短路径，以及一个队列来记录待处理的结点。具体步骤如下：

1. 将起点加入到已找到的最短路径列表中。
2. 将起点连接的结点加入到待处理队列中。
3. 从待处理队列中找出距离起点最近的结点，将其加入到已找到的最短路径列表中。
4. 更新待处理队列中的结点距离。
5. 重复步骤3-4，直到找到终点或者待处理队列为空。

Floyd算法

Floyd算法是一种动态规划算法，用于解决从一个结点到其他结点的最短路径问题。它使用一个二维数组来记录结点之间的距离，以及一个二维数组来记录每个结点之间的中转结点。具体步骤如下：

1. 初始化距离矩阵和中转矩阵。
2. 对于每一对结点i,j，如果存在结点k，使得从i到j的路径经过k的距离比直接从i到j的距离小，则更新距离矩阵和中转矩阵。
3. 重复步骤2，直到所有结点的距离都已经计算出来。

最小生成树算法

最小生成树算法主要是解决在一个连通加权图中寻找一颗生成树，使得生成树上边的权值之和最小的问题。常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法

Prim算法是一种贪心算法，它从任意一个结点开始，不断地向生成树中加入最短的边，直到生成树包含所有结点为止。具体步骤如下：

1. 将任意一个结点加入到生成树中。
2. 从不在生成树中的结点中，选取一条连接到已经在生成树中的结点中的最短边，将其加入到生成树中。
3. 重复步骤2，直到生成树中包含所有结点。

Kruskal算法

Kruskal算法是一种基于集合的贪心算法，它将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入到生成树中，如果加入一条边会形成环，则舍弃该边。具体步骤如下：

1. 将所有边按照权值从小到大排序。
2. 依次取出最小的边，如果加入该边不会形成环，则将该边加入到生成树中，否则舍弃该边。
3. 重复步骤2，直到生成树中包含所有结点。

拓扑排序算法

拓扑排序算法主要是解决有向无环图的排序问题。对于一个有向无环图，可以将所有结点按照它们之间的依赖关系进行排序，使得每个结点都排在它的前驱结点之后。常用的算法有DFS算法和BFS算法。

DFS算法

DFS算法是一种深度优先搜索算法，它使用一个栈来存储结点，首先将所有入度为0的结点加入到栈中，然后从栈中取出一个结点进行搜索，并将该结点的后继结点的入度减1，如果减1后的入度为0，则将该结点加入到栈中。具体步骤如下：

1. 将所有入度为0的结点加入到栈中。
2. 从栈中取出一个结点，并输出该结点。
3. 将该结点的后继结点的入度减1，如果减1后的入度为0，则将该结点加入到栈中。
4. 重复步骤2-3，直到栈为空。

BFS算法

BFS算法是一种广度优先搜索算法，它使用一个队列来存储结点，首先将所有入度为0的结点加入到队列中，然后从队列中取出一个结点进行搜索，并将该结点的后继结点的入度减1，如果减1后的入度为0，则将该结点加入到队列中。具体步骤如下：

1. 将所有入度为0的结点加入到队列中。
2. 从队列中取出一个结点，并输出该结点。
3. 将该结点的后继结点的入度减1，如果减1后的入度为0，则将该结点加入到队列中。
4. 重复步骤2-3，直到队列为空。