超星线性代数典型习题讲解章节答案(学习通2023题目答案)

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学习通线性代数典型习题讲解

线性代数是数学中的一门重要分支，并广泛应用于工程、物理学、计算机科学等领域。通过学习线性代数，我们可以更好地理解和解决各种问题。

一、向量和矩阵

1. 向量的点积

向量的点积也称为内积，表示两个向量在数量上的乘积和。计算公式如下：

$$\\vec{ a}\\cdot\\vec{ b}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$$

其中，$\\vec{ a}$ 和 $\\vec{ b}$ 分别表示两个 n 维向量，$a_i$ 和 $b_i$ 表示向量的第 i 个分量。

例题1：

已知 $\\vec{ a}=\\begin{ pmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{ pmatrix}$，$\\vec{ b}=\\begin{ pmatrix}-2\\\\1\\\\4\\end{ pmatrix}$，求 $\\vec{ a}\\cdot\\vec{ b}$。

解：

$$\\vec{ a}\\cdot\\vec{ b}=1\\times(-2)+2\\times1+3\\times4=11$$

2. 矩阵的转置

矩阵的转置是指将原矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

设 A 是一个 m×n 的矩阵，则它的转置为 $A^T$，其中：

$$A^T_{ ij}=A_{ ji}$$

即新矩阵的第 i 行第 j 列元素为原矩阵第 j 行第 i 列元素。

例题2：

已知 $A=\\begin{ pmatrix}1&2&3\\\\4&5&6\\end{ pmatrix}$，求 $A^T$。

解：

$$A^T=\\begin{ pmatrix}1&4\\\\2&5\\\\3&6\\end{ pmatrix}$$

3. 矩阵的逆

矩阵的逆是指对于一个 n 阶矩阵 A，如果存在一个 n 阶矩阵 B，使得 $AB=BA=I$，则称矩阵 A 可逆，且矩阵 B 为矩阵 A 的逆矩阵。

如果一个矩阵不存在逆矩阵，则称该矩阵为奇异矩阵。

例题3：

已知 $A=\\begin{ pmatrix}1&2\\\\3&4\\end{ pmatrix}$，求 A 的逆矩阵。

解：

首先计算矩阵 A 的行列式：

$$\\begin{ vmatrix}1&2\\\\3&4\\end{ vmatrix}=1\\times4-2\\times3=-2$$

因为 $\\begin{ vmatrix}A\\end{ vmatrix}\\neq0$，所以矩阵 A 可逆。

接下来计算伴随矩阵：

$$A^*=\\begin{ pmatrix}4&-2\\\\-3&1\\end{ pmatrix}$$

因此，矩阵 A 的逆矩阵为：

$$A^{ -1}=\\frac{ 1}{ \\begin{ vmatrix}A\\end{ vmatrix}}A^*=\\frac{ 1}{ -2}\\begin{ pmatrix}4&-2\\\\-3&1\\end{ pmatrix}=\\begin{ pmatrix}-2&1\\\\3/2&-1/2\\end{ pmatrix}$$

二、向量空间和线性变换

1. 向量空间的子空间

如果一个向量空间 V 中的一部分子集 W 满足以下三个条件：

1. 向量空间的零向量 0 属于 W。

2. 对于任意的 $\\vec{ u}$ 和 $\\vec{ v}$ 属于 W，$\\vec{ u}+\\vec{ v}$ 也属于 W。

3. 对于任意的 $\\vec{ u}$ 属于 W 和任意的标量 k，$k\\vec{ u}$ 也属于 W。

则称 W 为向量空间 V 的子空间。

例题4：

已知向量空间 V 由所有 3 维向量组成，子空间 W 由所有形如 $\\begin{ pmatrix}x\\\\y\\\\0\\end{ pmatrix}$ 的向量组成，判断 W 是否为 V 的子空间。

解：

首先，零向量 $\\begin{ pmatrix}0\\\\0\\\\0\\end{ pmatrix}$ 属于 W。

其次，设 $\\vec{ u}=\\begin{ pmatrix}x_1\\\\y_1\\\\0\\end{ pmatrix}$ 和 $\\vec{ v}=\\begin{ pmatrix}x_2\\\\y_2\\\\0\\end{ pmatrix}$ 属于 W，则 $\\vec{ u}+\\vec{ v}=\\begin{ pmatrix}x_1+x_2\\\\y_1+y_2\\\\0\\end{ pmatrix}$ 也属于 W。

最后，设 $\\vec{ u}=\\begin{ pmatrix}x\\\\y\\\\0\\end{ pmatrix}$ 属于 W 和任意的标量 k，则 $k\\vec{ u}=\\begin{ pmatrix}kx\\\\ky\\\\0\\end{ pmatrix}$ 也属于 W。

因此，W 是 V 的子空间。

2. 线性变换的矩阵表示

设 V 和 W 是两个向量空间，$T:V\\rightarrow W$ 是一个线性变换，$\\{ \\vec{ v_1},\\vec{ v_2},...,\\vec{ v_n}\\}$ 是向量空间 V 的一组基，$\\{ \\vec{ w_1},\\vec{ w_2},...,\\vec{ w_m}\\}$ 是向量空间 W 的一组基，则线性变换 T 可以表示为以下矩阵：

$$[T]=\\begin{ pmatrix}[T\\vec{ v_1}]_{ \\vec{ w_1}}&[T\\vec{ v_2}]_{ \\vec{ w_1}}&...&[T\\vec{ v_n}]_{ \\vec{ w_1}}\\\\[T\\vec{ v_1}]_{ \\vec{ w_2}}&[T\\vec{ v_2}]_{ \\vec{ w_2}}&...&[T\\vec{ v_n}]_{ \\vec{ w_2}}\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\[T\\vec{ v_1}]_{ \\vec{ w_m}}&[T\\vec{ v_2}]_{ \\vec{ w_m}}&...&[T\\vec{ v_n}]_{ \\vec{ w_m}}\\end{ pmatrix}$$

其中，$[T\\vec{ v_i}]_{ \\vec{ w_j}}$ 表示向量 $\\vec{ v_i}$ 在基 $\\{ \\vec{ w_1},\\vec{ w_2},...,\\vec{ w_m}\\}$ 下的像向量在基 $\\{ \\vec{ v_1},\\vec{ v_2},...,\\vec{ v_n}\\}$ 下的坐标。

例题5：

设 $T:\\mathbb{ R}^2\\rightarrow\\mathbb{ R}^3$ 是一个线性变换，$\\{ \\vec{ e_1},\\vec{ e_2}\\}$ 是 $\\mathbb{ R}^2$ 的标准基，$\\{ \\vec{ f_1},\\vec{ f_2},\\vec{ f_3}\\}$ 是 $\\mathbb{ R}^3$ 的基，且 $T\\vec{ e_1}=\\begin{ pmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{ pmatrix}$，$T\\vec{ e_2}=\\begin{ pmatrix}4\\\\5\\\\6\\end{ pmatrix}$，求线性变换 T 的矩阵。

解：

需要求出向量 $\\begin{ pmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{ pmatrix}$ 和 $\\begin{ pmatrix}4\\\\5\\\\6\\end{ pmatrix}$ 在基 $\\{ \\vec{ e_1},\\vec{ e_2}\\}$ 下的坐标。

$$\\begin{ pmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{ pmatrix}=[T\\vec{ e_1}]_{ \\vec{ f_1}}\\vec{ f_1}+[T\\vec{ e_1}]_{ \\vec{ f_2}}\\vec{ f_2}+[T\\vec{ e_1}]_{ \\vec{ f_3}}\\vec{ f_3}=\\begin{ pmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{ pmatrix}$$

$$\\begin{ pmatrix}4\\\\5\\\\6\\end{ pmatrix}=[T\\vec{ e_2}]_{ \\vec{ f_1}}\\vec{ f_1}+[T\\vec{ e_2}]_{ \\vec{ f_2}}\\vec{ f_2}+[T\\vec{ e_2}]_{ \\vec{ f_3}}\\vec{ f_3}=\\begin{ pmatrix}4\\\\5\\\\6\\end{ pmatrix}$$

因此，线性变换 T 的矩阵为：

$$[T]=\\begin{ pmatrix}1&4\\\\2&5\\\\3&6\\end{ pmatrix}$$

三、特征值和特征向量

1. 特征值和特征向量的定义

设 A 是一个 n 阶矩阵，如果存在一个非零向量 $\\vec{ x}$，使得 $A\\vec{ x}=\\lambda\\vec{ x}$，其中 $\\lambda$ 是一个常数，则称 $\\lambda$ 是矩阵 A 的一个特征值，$\\vec{ x}$ 是矩阵 A 对应于特征值 $\\lambda$ 的一个特征向量。

例题6：

设 $A=\\begin{ pmatrix}1&2\\\\3&4\\end{ pmatrix}$，求矩阵 A 的特征值和特征向量。

解：

首先，计算矩阵 A 的特征值：

$$\\begin{ vmatrix}1-\\lambda&2\\\\3&4-\\lambda\\end{ vmatrix}=(1-\\lambda)(4-\\lambda)-6=0$$

解得 $\\lambda_1=-1$ 和 $\\lambda_2=5$。

接下来，分别求解矩阵 A 对应于特征值 $\\lambda_1$ 和 $\\lambda_2$ 的特征向量。

当 $\\lambda=-1$ 时，有：

$$(A-\\lambda I)\\vec{ x}=\\begin{ pmatrix}1+1&2\\\\3&4+1\\end{ pmatrix}\\begin{ pmatrix}x_1\\\\x_2\\end{ pmatrix}=\\begin{ pmatrix}0\\\\0\\end{ pmatrix}$$

解得 $\\vec{ x_1}=\\begin{ pmatrix}-2\\\\1\\end{ pmatrix}$。

当 $\\lambda=5$ 时，有：

$$(A-\\lambda I)\\vec{ x}=\\begin{ pmatrix}-4&2\\\\3&-1\\end{ pmatrix}\\begin{ pmatrix}x_1\\\\x_2\\end{ pmatrix}=\\begin{ pmatrix}0\\\\0\\end{ pmatrix}$$

解得 $\\vec{ x_2}=\\begin{ pmatrix}1\\\\3\\end{ pmatrix}$。

因此，矩阵 A 的特征值和特征向量分别为：

$$\\lambda_1=-1,\\quad\\vec{ x_1}=\\begin{ pmatrix}-2\\\\1\\end{ pmatrix}$$$$\\lambda_2=5,\\quad\\vec{ x_2}=\\begin{ pmatrix}1\\\\3\\end{ pmatrix}$$

2. 特征多项式和特征向量的基

设 A 是一个 n 阶矩阵，$\\lambda_1,\\lambda_2,...,\\lambda_k$ 是它的所有不同的特征值，$\\vec{ x_{ i1}},\\vec{ x_{ i2}},...,\\vec{ x_{ im_i}}$ 是对应于特征值 $\\lambda_i$ 的所有线性无关的特征向量，则：

1. A 的特征多项式为：

$$f(\\lambda)=(\\lambda-\\lambda_1)^{ m_1}(\\lambda-\\lambda_2)^{ m_2}...\\cdot(\\lambda-\\lambda_k)^{ m_k}$$

2. 对于每个特征值 $\\lambda_i$，$\\{ \\vec{ x_{ i1}},\\vec{ x_{ i2}},...,\\vec{ x_{ im_i}}\\}$ 是 A 的特征子空间，且 $\\{ \\vec{ x_{ i1}},\\vec{ x_{ i2}},...,\\vec{ x_{ im_i}}\\}$ 是对应于特征值 $\\lambda_i$ 的特征向量的基。

例题7：

设 $A=\\begin{ pmatrix}1&1&1\\\\0&1&1\\\\0&0&2\\end{ pmatrix}$，求矩阵 A 的特征多项式、特征值和特征向量的基。

解：

首先，计算矩阵 A 的特征多项式：

$$f(\\lambda)=\\begin{ vmatrix}1-\\lambda&1&1\\\\0&1-\\lambda&1\\\\0&0&2-\\lambda\\end{ vmatrix}=(1-\\lambda)^2(2-\\lambda)$$

得到 A 的所有特征值为 $\\lambda_1=1$ 和 $\\lambda_2=2$，且对应于特征值 $\\lambda_1$ 的特征向量为：

$$\\begin{ pmatrix}1\\\\0\\\\0\\end{ pmatrix},\\quad\\begin{ pmatrix}-1\\\\1\\\\0\\end{ pmatrix}$$

对应于特征值 $\\lambda_2$ 的特征向量为：

$$\\begin{ pmatrix}0\\\\0\\\\1\\end{ pmatrix}$$

因此，矩阵 A 的特征多项式、特征值和特征向量的基分别为：

$$f(\\lambda)=(\\lambda-1)^2(\\lambda-2)$$$$\\lambda_1=1,\\quad\\{ \\begin{ pmatrix}1\\\\0\\\\0\\end{ pmatrix},\\begin{ pmatrix}-1\\\\1\\\\0\\end{ pmatrix}\\}$$$$\\lambda_2=2,\\quad\\{ \\begin{ pmatrix}0\\\\0\\\\1\\end{ pmatrix}\\}$$

四、本征值问题的应用

1. 奇异值分解

矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称 SVD）是一种常见的矩阵分解方法。对于一个 m×n 的矩阵 A，它的奇异值分解为：

$$A=U\\Sigma V^T$$

其中，U 和 V 分别是 m×m 和 n×n 的正交

学习通线性代数典型习题讲解

线性代数是数学中的一门重要分支，并广泛应用于工程、物理学、计算机科学等领域。通过学习线性代数，我们可以更好地理解和解决各种问题。

一、向量和矩阵

1. 向量的点积

向量的点积也称为内积，表示两个向量在数量上的乘积和。计算公式如下：

$$\\vec{ a}\\cdot\\vec{ b}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$$

其中，$\\vec{ a}$ 和 $\\vec{ b}$ 分别表示两个 n 维向量，$a_i$ 和 $b_i$ 表示向量的第 i 个分量。

例题1：

已知 $\\vec{ a}=\\begin{ pmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{ pmatrix}$，$\\vec{ b}=\\begin{ pmatrix}-2\\\\1\\\\4\\end{ pmatrix}$，求 $\\vec{ a}\\cdot\\vec{ b}$。

解：

$$\\vec{ a}\\cdot\\vec{ b}=1\\times(-2)+2\\times1+3\\times4=11$$

2. 矩阵的转置

矩阵的转置是指将原矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

设 A 是一个 m×n 的矩阵，则它的转置为 $A^T$，其中：

$$A^T_{ ij}=A_{ ji}$$

即新矩阵的第 i 行第 j 列元素为原矩阵第 j 行第 i 列元素。

例题2：

已知 $A=\\begin{ pmatrix}1&2&3\\\\4&5&6\\end{ pmatrix}$，求 $A^T$。

解：

$$A^T=\\begin{ pmatrix}1&4\\\\2&5\\\\3&6\\end{ pmatrix}$$

3. 矩阵的逆

矩阵的逆是指对于一个 n 阶矩阵 A，如果存在一个 n 阶矩阵 B，使得 $AB=BA=I$，则称矩阵 A 可逆，且矩阵 B 为矩阵 A 的逆矩阵。

如果一个矩阵不存在逆矩阵，则称该矩阵为奇异矩阵。

例题3：

已知 $A=\\begin{ pmatrix}1&2\\\\3&4\\end{ pmatrix}$，求 A 的逆矩阵。

解：

首先计算矩阵 A 的行列式：

$$\\begin{ vmatrix}1&2\\\\3&4\\end{ vmatrix}=1\\times4-2\\times3=-2$$

因为 $\\begin{ vmatrix}A\\end{ vmatrix}\\neq0$，所以矩阵 A 可逆。

接下来计算伴随矩阵：

$$A^*=\\begin{ pmatrix}4&-2\\\\-3&1\\end{ pmatrix}$$

因此，矩阵 A 的逆矩阵为：

$$A^{ -1}=\\frac{ 1}{ \\begin{ vmatrix}A\\end{ vmatrix}}A^*=\\frac{ 1}{ -2}\\begin{ pmatrix}4&-2\\\\-3&1\\end{ pmatrix}=\\begin{ pmatrix}-2&1\\\\3/2&-1/2\\end{ pmatrix}$$

二、向量空间和线性变换

1. 向量空间的子空间

如果一个向量空间 V 中的一部分子集 W 满足以下三个条件：

1. 向量空间的零向量 0 属于 W。

2. 对于任意的 $\\vec{ u}$ 和 $\\vec{ v}$ 属于 W，$\\vec{ u}+\\vec{ v}$ 也属于 W。

3. 对于任意的 $\\vec{ u}$ 属于 W 和任意的标量 k，$k\\vec{ u}$ 也属于 W。

则称 W 为向量空间 V 的子空间。

例题4：

已知向量空间 V 由所有 3 维向量组成，子空间 W 由所有形如 $\\begin{ pmatrix}x\\\\y\\\\0\\end{ pmatrix}$ 的向量组成，判断 W 是否为 V 的子空间。

解：

首先，零向量 $\\begin{ pmatrix}0\\\\0\\\\0\\end{ pmatrix}$ 属于 W。

其次，设 $\\vec{ u}=\\begin{ pmatrix}x_1\\\\y_1\\\\0\\end{ pmatrix}$ 和 $\\vec{ v}=\\begin{ pmatrix}x_2\\\\y_2\\\\0\\end{ pmatrix}$ 属于 W，则 $\\vec{ u}+\\vec{ v}=\\begin{ pmatrix}x_1+x_2\\\\y_1+y_2\\\\0\\end{ pmatrix}$ 也属于 W。

最后，设 $\\vec{ u}=\\begin{ pmatrix}x\\\\y\\\\0\\end{ pmatrix}$ 属于 W 和任意的标量 k，则 $k\\vec{ u}=\\begin{ pmatrix}kx\\\\ky\\\\0\\end{ pmatrix}$ 也属于 W。

因此，W 是 V 的子空间。

2. 线性变换的矩阵表示

设 V 和 W 是两个向量空间，$T:V\\rightarrow W$ 是一个线性变换，$\\{ \\vec{ v_1},\\vec{ v_2},...,\\vec{ v_n}\\}$ 是向量空间 V 的一组基，$\\{ \\vec{ w_1},\\vec{ w_2},...,\\vec{ w_m}\\}$ 是向量空间 W 的一组基，则线性变换 T 可以表示为以下矩阵：

$$[T]=\\begin{ pmatrix}[T\\vec{ v_1}]_{ \\vec{ w_1}}&[T\\vec{ v_2}]_{ \\vec{ w_1}}&...&[T\\vec{ v_n}]_{ \\vec{ w_1}}\\\\[T\\vec{ v_1}]_{ \\vec{ w_2}}&[T\\vec{ v_2}]_{ \\vec{ w_2}}&...&[T\\vec{ v_n}]_{ \\vec{ w_2}}\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\[T\\vec{ v_1}]_{ \\vec{ w_m}}&[T\\vec{ v_2}]_{ \\vec{ w_m}}&...&[T\\vec{ v_n}]_{ \\vec{ w_m}}\\end{ pmatrix}$$

其中，$[T\\vec{ v_i}]_{ \\vec{ w_j}}$ 表示向量 $\\vec{ v_i}$ 在基 $\\{ \\vec{ w_1},\\vec{ w_2},...,\\vec{ w_m}\\}$ 下的像向量在基 $\\{ \\vec{ v_1},\\vec{ v_2},...,\\vec{ v_n}\\}$ 下的坐标。

例题5：

设 $T:\\mathbb{ R}^2\\rightarrow\\mathbb{ R}^3$ 是一个线性变换，$\\{ \\vec{ e_1},\\vec{ e_2}\\}$ 是 $\\mathbb{ R}^2$ 的标准基，$\\{ \\vec{ f_1},\\vec{ f_2},\\vec{ f_3}\\}$ 是 $\\mathbb{ R}^3$ 的基，且 $T\\vec{ e_1}=\\begin{ pmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{ pmatrix}$，$T\\vec{ e_2}=\\begin{ pmatrix}4\\\\5\\\\6\\end{ pmatrix}$，求线性变换 T 的矩阵。

解：

需要求出向量 $\\begin{ pmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{ pmatrix}$ 和 $\\begin{ pmatrix}4\\\\5\\\\6\\end{ pmatrix}$ 在基 $\\{ \\vec{ e_1},\\vec{ e_2}\\}$ 下的坐标。

$$\\begin{ pmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{ pmatrix}=[T\\vec{ e_1}]_{ \\vec{ f_1}}\\vec{ f_1}+[T\\vec{ e_1}]_{ \\vec{ f_2}}\\vec{ f_2}+[T\\vec{ e_1}]_{ \\vec{ f_3}}\\vec{ f_3}=\\begin{ pmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{ pmatrix}$$

$$\\begin{ pmatrix}4\\\\5\\\\6\\end{ pmatrix}=[T\\vec{ e_2}]_{ \\vec{ f_1}}\\vec{ f_1}+[T\\vec{ e_2}]_{ \\vec{ f_2}}\\vec{ f_2}+[T\\vec{ e_2}]_{ \\vec{ f_3}}\\vec{ f_3}=\\begin{ pmatrix}4\\\\5\\\\6\\end{ pmatrix}$$

因此，线性变换 T 的矩阵为：

$$[T]=\\begin{ pmatrix}1&4\\\\2&5\\\\3&6\\end{ pmatrix}$$

三、特征值和特征向量

1. 特征值和特征向量的定义

设 A 是一个 n 阶矩阵，如果存在一个非零向量 $\\vec{ x}$，使得 $A\\vec{ x}=\\lambda\\vec{ x}$，其中 $\\lambda$ 是一个常数，则称 $\\lambda$ 是矩阵 A 的一个特征值，$\\vec{ x}$ 是矩阵 A 对应于特征值 $\\lambda$ 的一个特征向量。

例题6：

设 $A=\\begin{ pmatrix}1&2\\\\3&4\\end{ pmatrix}$，求矩阵 A 的特征值和特征向量。

解：

首先，计算矩阵 A 的特征值：

$$\\begin{ vmatrix}1-\\lambda&2\\\\3&4-\\lambda\\end{ vmatrix}=(1-\\lambda)(4-\\lambda)-6=0$$

解得 $\\lambda_1=-1$ 和 $\\lambda_2=5$。

接下来，分别求解矩阵 A 对应于特征值 $\\lambda_1$ 和 $\\lambda_2$ 的特征向量。

当 $\\lambda=-1$ 时，有：

$$(A-\\lambda I)\\vec{ x}=\\begin{ pmatrix}1+1&2\\\\3&4+1\\end{ pmatrix}\\begin{ pmatrix}x_1\\\\x_2\\end{ pmatrix}=\\begin{ pmatrix}0\\\\0\\end{ pmatrix}$$

解得 $\\vec{ x_1}=\\begin{ pmatrix}-2\\\\1\\end{ pmatrix}$。

当 $\\lambda=5$ 时，有：

$$(A-\\lambda I)\\vec{ x}=\\begin{ pmatrix}-4&2\\\\3&-1\\end{ pmatrix}\\begin{ pmatrix}x_1\\\\x_2\\end{ pmatrix}=\\begin{ pmatrix}0\\\\0\\end{ pmatrix}$$

解得 $\\vec{ x_2}=\\begin{ pmatrix}1\\\\3\\end{ pmatrix}$。

因此，矩阵 A 的特征值和特征向量分别为：

$$\\lambda_1=-1,\\quad\\vec{ x_1}=\\begin{ pmatrix}-2\\\\1\\end{ pmatrix}$$$$\\lambda_2=5,\\quad\\vec{ x_2}=\\begin{ pmatrix}1\\\\3\\end{ pmatrix}$$

2. 特征多项式和特征向量的基

设 A 是一个 n 阶矩阵，$\\lambda_1,\\lambda_2,...,\\lambda_k$ 是它的所有不同的特征值，$\\vec{ x_{ i1}},\\vec{ x_{ i2}},...,\\vec{ x_{ im_i}}$ 是对应于特征值 $\\lambda_i$ 的所有线性无关的特征向量，则：

1. A 的特征多项式为：

$$f(\\lambda)=(\\lambda-\\lambda_1)^{ m_1}(\\lambda-\\lambda_2)^{ m_2}...\\cdot(\\lambda-\\lambda_k)^{ m_k}$$

2. 对于每个特征值 $\\lambda_i$，$\\{ \\vec{ x_{ i1}},\\vec{ x_{ i2}},...,\\vec{ x_{ im_i}}\\}$ 是 A 的特征子空间，且 $\\{ \\vec{ x_{ i1}},\\vec{ x_{ i2}},...,\\vec{ x_{ im_i}}\\}$ 是对应于特征值 $\\lambda_i$ 的特征向量的基。

例题7：

设 $A=\\begin{ pmatrix}1&1&1\\\\0&1&1\\\\0&0&2\\end{ pmatrix}$，求矩阵 A 的特征多项式、特征值和特征向量的基。

解：

首先，计算矩阵 A 的特征多项式：

$$f(\\lambda)=\\begin{ vmatrix}1-\\lambda&1&1\\\\0&1-\\lambda&1\\\\0&0&2-\\lambda\\end{ vmatrix}=(1-\\lambda)^2(2-\\lambda)$$

得到 A 的所有特征值为 $\\lambda_1=1$ 和 $\\lambda_2=2$，且对应于特征值 $\\lambda_1$ 的特征向量为：

$$\\begin{ pmatrix}1\\\\0\\\\0\\end{ pmatrix},\\quad\\begin{ pmatrix}-1\\\\1\\\\0\\end{ pmatrix}$$

对应于特征值 $\\lambda_2$ 的特征向量为：

$$\\begin{ pmatrix}0\\\\0\\\\1\\end{ pmatrix}$$

因此，矩阵 A 的特征多项式、特征值和特征向量的基分别为：

$$f(\\lambda)=(\\lambda-1)^2(\\lambda-2)$$$$\\lambda_1=1,\\quad\\{ \\begin{ pmatrix}1\\\\0\\\\0\\end{ pmatrix},\\begin{ pmatrix}-1\\\\1\\\\0\\end{ pmatrix}\\}$$$$\\lambda_2=2,\\quad\\{ \\begin{ pmatrix}0\\\\0\\\\1\\end{ pmatrix}\\}$$

四、本征值问题的应用

1. 奇异值分解

矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称 SVD）是一种常见的矩阵分解方法。对于一个 m×n 的矩阵 A，它的奇异值分解为：

$$A=U\\Sigma V^T$$

其中，U 和 V 分别是 m×m 和 n×n 的正交