mooc数值分析_3答案(mooc2023课后作业答案)

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学习通数值分析_3

在数值分析中，我们经常会遇到需要求解非线性方程的问题。非线性方程是指未知量的次数大于1的方程，一般形式为：

f(x) = 0

其中，x为未知量，f(x)为非线性函数。

在实际问题中，很多时候我们需要求解非线性方程的根，即解出方程f(x) = 0的解x。而对于非线性方程的求解，往往没有通用的公式或方法可以使用。因此，我们需要借助数值计算的方法来解决这个问题。

牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程的经典方法。其基本思想是：通过不断逼近函数的零点，求解出方程的根。具体来说，我们可以从一个初始值x₀开始，根据函数的导数信息，不断迭代求出更接近f(x) = 0的近似解。其中，每一步的迭代公式为：

x_k+1= x_k- f(x_k) / f'(x_k)

其中，x_k+1为迭代后的近似解，x_k为当前的近似解，f(x_k)为函数在x_k处的函数值，f'(x_k)为函数在x_k处的导数值。

需要注意的是，牛顿迭代法的收敛性与初始值的选择有很大关系。如果选择的初始值与实际根的距离较远，很可能会导致迭代结果不收敛。因此，在使用牛顿迭代法求解非线性方程时，需要选择合适的初始值。

二分法

二分法是一种非常简单、直观的求解非线性方程的方法。其基本思想是：通过不断缩小函数值的范围，找到函数值为0的点。具体来说，我们可以根据函数在两个不同的点处的函数值，判断根所在的位置，然后不断将函数值为正的一半或者负的一半作为新的区间进行迭代。其中，每一步的迭代公式为：

x_m= (a+b) / 2

其中，a和b分别为当前区间的两个端点，x_m为当前区间的中点。

需要注意的是，二分法的收敛速度相对较慢，但其收敛性非常稳定。如果初始值的范围已知，并且需要求解的根的位置比较明确，可以考虑使用二分法进行求解。

弦截法

弦截法是一种求解非线性方程的迭代方法，其基本思想是：通过连接两个点，得到一条直线，然后将这条直线与x轴的交点作为新的近似解。具体来说，我们可以根据两个初始点x₀和x₁，计算出直线的斜率k，然后将直线与x轴的交点作为新的近似解。其中，每一步的迭代公式为：

x_k+1= x_k- f(x_k) * (x_k- x_k-1) / (f(x_k) - f(x_k-1))

需要注意的是，弦截法的收敛速度比牛顿迭代法要慢，但是其收敛性比较稳定。如果牛顿迭代法的导数信息不易计算，可以考虑使用弦截法进行求解。

总结

以上介绍的三种方法都是求解非线性方程的常用方法，具有不同的优缺点。在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点，选择合适的方法进行求解。同时，需要注意选择合适的初始值和迭代参数，以保证方法的收敛性和计算精度。

中国大学数值分析_3

数值分析是数学的一个分支，旨在研究用数学方法来解决数学问题的可行性、准确性及效率。随着计算机技术的发展，数值分析在科学计算、工程计算、金融计算等各个领域都有着广泛的应用。

数值微积分

数值微积分是数值分析中的一个重要分支，主要研究求解微积分问题的数值方法。在实际计算中，我们往往需要对函数进行积分或求导，但是有些函数并没有解析式，此时我们就需要用数值方法来求解。

在数值微积分中，有几个经典问题需要我们掌握：

• 数值积分
• 数值微分
• 常微分方程数值解法

数值积分

数值积分是指通过数值方法来求解定积分问题。在实际计算中，有些函数并没有解析式，或者解析式很难求解，此时我们可以用数值方法来求解定积分。

常见的数值积分方法有：

• 矩形法
• 梯形法
• 辛普森法

矩形法

矩形法是最简单的数值积分方法之一。它的原理是将积分区间等分成若干个小区间，每个小区间上的函数值看作常数，则原积分可以近似为所有小区间上的函数值乘以小区间长度的和。

矩形法的基本公式为：

def rectangle(f, a, b, n):    h = (b - a) / n    s = 0    for i in range(n):        x = a + i * h        s += f(x)    return s * h

梯形法

梯形法是一种比矩形法更准确的数值积分方法。它的原理是将积分区间等分成若干个小区间，每个小区间上的函数值看作两个端点连线的斜率，则原积分可以近似为所有小梯形的面积之和。

梯形法的基本公式为：

def trapezoid(f, a, b, n):    h = (b - a) / n    s = (f(a) + f(b)) / 2    for i in range(1, n):        x = a + i * h        s += f(x)    return s * h

辛普森法

辛普森法是一种更加准确的数值积分方法。它的原理是将积分区间等分成若干个小区间，每个小区间上的函数值看作三个端点的二次插值，并将每个小区间上的积分近似为二次插值函数的定积分。

辛普森法的基本公式为：

def simpson(f, a, b, n):    h = (b - a) / n    s1 = 0    for i in range(1, n, 2):        x = a + i * h        s1 += 4 * f(x)    s2 = 0    for i in range(2, n-1, 2):        x = a + i * h        s2 += 2 * f(x)    s = (f(a) + f(b) + s1 + s2) * h / 3    return s

数值微分

数值微分是指通过数值方法来求解微分问题。在实际计算中，我们往往需要求函数的导数或高阶导数，但是有些函数并没有解析式，此时我们就需要用数值方法来求解。

常见的数值微分方法有：

• 前向差分法
• 后向差分法
• 中心差分法

前向差分法

前向差分法是一种简单的数值微分方法。它的原理是用函数在当前点和相邻点的差值来近似函数在当前点的导数。

前向差分法的基本公式为：

def forward_diff(f, x, h):    return (f(x + h) - f(x)) / h

后向差分法

后向差分法是一种与前向差分法类似的数值微分方法。它的原理是用函数在当前点和相邻点的差值来近似函数在当前点的导数。

后向差分法的基本公式为：

def backward_diff(f, x, h):    return (f(x) - f(x - h)) / h

中心差分法

中心差分法是一种更加准确的数值微分方法。它的原理是用函数在当前点的前后相邻点的差值来近似函数在当前点的导数。

中心差分法的基本公式为：

def center_diff(f, x, h):    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

常微分方程数值解法

常微分方程数值解法是指通过数值方法来求解常微分方程的近似解。在实际计算中，有些常微分方程并没有解析式，或者解析式很难求解，此时我们就需要用数值方法来求解。

常见的常微分方程数值解法有：

• 欧拉法
• 改进欧拉法
• 龙格-库塔法

欧拉法

欧拉法是最简单的常微分方程数值解法之一。它的原理是将时间区间等分成若干个小时间步长，用当前时刻的状态和微分方程的导数来近似计算下一个时间步长的状态。

欧拉法的基本公式为：

def euler(f, y0, t0, h, n):    y = [y0]    t = [t0]    for i in range(1, n+1):        y.append(y[-1] + h * f(y[-1], t[-1]))        t.append(t[-1] + h)    return y, t

改进欧拉法

改进欧拉法是一种对欧拉法进行改进的常微分方程数值解法。它的原理是用当前时刻的状态和微分方程的导数来计算一个中间状态，然后用这个中间状态来近似计算下一个时间步长的状态。

改进欧拉法的基本公式为：

def improved_euler(f, y0, t0, h, n):    y = [y0]    t = [t0]    for i in range(1, n+1):        s = f(y[-1], t[-1])        y.append(y[-1] + h * f(y[-1] + h/2*s, t[-1] + h/2))        t.append(t[-1] + h)    return y, t

龙格-库塔法

龙格-库塔法是一种更加准确的常微分方程数值解法。它的原理是用当前时刻的状态和微分方程的导数来计算若干个中间状态，然后将这些中间状态加权平均得到下一个时间步长的状态。

龙格-库塔法的基本公式为：

def runge_kutta(f, y0, t0, h, n):    y = [y0]    t = [t0]    for i in range(1, n+1):        k1 = f(y[-1], t[-1])        k2 = f(y[-1] + h/2*k1, t[-1] + h/2)        k3 = f(y[-1] + h/2*k2, t[-1] + h/2)        k4 = f(y[-1] + h*k3, t[-1] + h)        y.append(y[-1] + h/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4))        t.append(t[-1] + h)    return y, t

总结

数值微积分和常微分方程数值解法是数值分析中的两个重要分支。掌握这些方法可以帮助我们更加准确地求解数学问题，应用于科学计算和工程计算等实际领域。