尔雅高等代数（上）_2课后答案(学习通2023课后作业答案)

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学习通高等代数（上）_2

1. 集合的运算

集合就是由一些元素组成的整体。集合的运算有交集、并集、差集、对称差等。

1.1 交集

若集合A和B中都有的元素组成的集合，称为集合A和B的交集。交集用符号∩表示。

例如：若A={ 1,2,3}，B={ 2,3,4}，则A∩B={ 2,3}。

1.2 并集

由集合A和B中的元素组成的集合，称为集合A和B的并集。并集用符号∪表示。

例如：若A={ 1,2,3}，B={ 2,3,4}，则A∪B={ 1,2,3,4}。

1.3 差集

由属于集合A而不属于集合B的元素组成的集合，称为集合A和B的差集。差集用符号-表示。

例如：若A={ 1,2,3}，B={ 2,3,4}，则A-B={ 1}。

1.4 对称差

由属于集合A而不属于集合B，或者属于集合B而不属于集合A的元素组成的集合，称为集合A和B的对称差。对称差用符号△表示。

例如：若A={ 1,2,3}，B={ 2,3,4}，则A△B={ 1,4}。

2. 数学归纳法

数学归纳法是一种证明数学结论的方法。它分为弱归纳法和强归纳法两种。

2.1 弱归纳法

若一个命题在n=1时成立，并假设该命题在n=k(k≥1)时成立，则在n=k+1时该命题也成立，则该命题对于任意的正整数n都成立。

2.2 强归纳法

若一个命题在n=1时成立，并假设该命题在n≤k(k≥1)时成立，则在n=k+1时该命题也成立，则该命题对于任意的正整数n都成立。

3. 函数

函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中唯一的元素。

3.1 函数的定义

设A和B是两个集合，若按照某种对应关系f，使得A中的每个元素a都对应唯一地一个B中的元素b，则称f为从A到B的一个函数，记作f: A→B。

3.2 函数的性质

函数有单射、满射和双射三种性质。

3.2.1 单射

若从A到B的函数f满足：对于任意的a1、a2∈A，如果a1≠a2，则f(a1)≠f(a2)，则称f为A到B的单射。

3.2.2 满射

若从A到B的函数f满足：对于任意的b∈B，都存在一个元素a∈A，使得f(a)=b，则称f为A到B的满射。

3.2.3 双射

若从A到B的函数f既是单射又是满射，则称f为A到B的双射。

4. 二元关系

二元关系是指两个元素之间的某种关系，可以表示为一个二元有序对。

4.1 二元关系的定义

设X和Y是两个集合，R是从X到Y的二元关系，则对于任意的元素x∈X和y∈Y，若(x,y)∈R，表示x和y之间存在关系R。

4.2 具有某种性质的二元关系

具有某种性质的二元关系有自反性、对称性、传递性和等价关系。

4.2.1 自反性

若对于任意的x∈X，都有(x,x)∈R，则称关系R具有自反性。

4.2.2 对称性

若对于任意的x、y∈X，若(x,y)∈R，则(y,x)∈R，则称关系R具有对称性。

4.2.3 传递性

若对于任意的x、y、z∈X，若(x,y)∈R且(y,z)∈R，则(x,z)∈R，则称关系R具有传递性。

4.2.4 等价关系

若关系R具有自反性、对称性和传递性，则称关系R是X上的等价关系。

5. 命题及其逻辑关系

命题是一个陈述句子，它可以为真或为假。命题之间有与、或、非等逻辑关系。

5.1 命题的定义

命题是一个陈述句子，它可以为真或为假。

5.2 逻辑关系

命题之间有与、或、非等逻辑关系。

5.2.1 与

若p和q是两个命题，则它们的与命题p∧q为真，当且仅当p和q均为真。

5.2.2 或

若p和q是两个命题，则它们的或命题p∨q为真，当且仅当p或q至少有一个为真。

5.2.3 非

若p是一个命题，则它的非命题?p为真，当且仅当p为假。

6. 三大基本公式

三大基本公式是高等代数中的重要概念，包括二次公式、余式定理和因式分解公式。

6.1 二次公式

二次公式是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。

二次公式的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

6.2 余式定理

余式定理是指当一个多项式f(x)除以一个(x-a)的余数为f(a)。

余式定理的公式为：f(x)=(x-a)q(x)+r，其中q(x)是商式，r是余式，f(a)=r。

6.3 因式分解公式

因式分解公式是指将一个多项式分解为几个低次多项式的乘积。

6.3.1 差平方公式

差平方公式是指a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

6.3.2 和差化积公式

和差化积公式是指(a+b)(a-b)=a^2-b^2。

6.3.3 二次三项式分解公式

二次三项式分解公式是指ax^2+bx+c=(mx+p)(nx+q)，其中mn=a，mq+np=b，pq=c。

6.3.4 因式分解公式

因式分解公式是指将一个多项式分解为几个低次多项式的乘积。

6.3.4.1 公因式法

公因式法是指当一个多项式中存在一个公因子时，可以将其提出来，得到一个简化形式。

6.3.4.2 分组法

分组法是指当一个多项式中存在两个或两个以上的项，可以通过合理分组，使其变为公因式形式。

6.3.4.3 通项公式

通项公式是指当一个多项式存在一定的规律时，可以利用通项公式进行因式分解。

7. 矩阵与行列式

矩阵是指一个矩形的数字数组，行列式是指一个方阵的特殊数字。

7.1 矩阵

矩阵是指一个矩形的数字数组，可以表示为A=[aij]，其中i表示行数，j表示列数，a表示第i行第j列的元素。

7.2 行列式

行列式是指一个方阵的特殊数字，可以通过一定的方法计算得出。

7.2.1 二阶行列式

二阶行列式是指一个2×2的方阵的行列式。行列式公式为：|A|=ad-bc。

7.2.2 三阶行列式

三阶行列式是指一个3×3的方阵的行列式。行列式公式为：|A|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31。

7.2.3 行列式的性质

行列式具有以下性质：行列式互换、行列式倍加、行列式的秩与行列式值。

7.2.3.1 行列式互换

将行列式的任意两行互换，行列式的值不变。

7.2.3.2 行列式倍加

将行列式的某一行的若干倍加到另一行上，行列式的值不变。

7.2.3.3 行列式的秩与行列式值

行列式的秩是矩阵的秩，行列式的值是由行列式元素所组成的一个数字。

8. 向量空间

向量空间是指一组满足一定条件的向量的集合，其中有加法和数乘的定义。

8.1 向量的定义

向量是指带有大小和方向的量，可以表示为一组有序数对。

8.2 向量空间的定义

向量空间是指一组满足以下条件的向量的集合：

• 加法结合律：(u+v)+w=u+(v+w)；
• 加法交换律：u+v=v+u；
• 加法单位元素：存在一个零向量0，使得u+0=u；
• 加法逆元素：对于任意的向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0；
• 数乘结合律：(αβ)v=α(βv)；
• 数乘分配律1：(α+β)v=αv+βv；
• 数乘分配律2：(α+β)v=αv+βv；
• 数乘单位元素：1v=v。

8.3 向量空间的例子

常见的向量空间有R^n、Pn、矩阵空间等。

8.3.1 R^n

R^n是指由n个实数所组成的向量的集合，其中加法和数乘的定义为：

u=(u1,u2,...,un)，v=(v1,v2,...,vn)

u+v=(u1+v1,u2+v2,...,un+vn)，αu=(αu1,αu2,...,αun)。

8.3.2 Pn

Pn是指所有次数不超过n的实系数多项式所组成的向量空间，其中加法和数乘的定义为：

f(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n，g(x)=b0+b1x+b2x^2+...+bnx^n

f(x)+g(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x^2+...+(an+bn)x^n

αf(x)=(αa0)+(αa1)x+(αa2)x^2+...+(αan)x^n。

8.3.3 矩阵空间

矩阵空间是指所有m×n矩阵所组成的向量空间，其中加法和数乘的定义为：

A=[aij]，B=[bij]

A+B=[aij+bij]，αA=[αaij]。

9. 线性变换

线性变换是指一个向量空间到自身的变换，它保持加法和数乘的运算。

9.1 线性变换的定义

设V和W是两个向量空间，f: V→W是一个映射，若满足以下条件，则称f是从V到W的线性变换：

• f(u+v)=f(u)+f(v)；
• f(αu)=αf(u)。

9.2 线性变换的例子

常见的线性变换有旋转变换、投影变换、对称变换等。

9.2.1 旋转变换

旋转变换是指将一个向量绕一个点旋转一定角度的变换。

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