mooc数学分析（五）_4期末答案(慕课2023完整答案)
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第十讲 二元函数的连续性随堂测验
1、设为定义在点集上的分析二元函数,. 若, 只要时, 就有, 则称关于集合在点 .
2、设，期末称 为函数在点的答案答案
3、 统称为
第十一讲 有界闭区域上连续函数的慕课性质随堂测验
1、若二元函数在 闭域上连续,完整则在上有界且能取得最大值与最小值.
2、函数在有界闭域上连续,数学则在上 . 即, 存在只依赖于的 使得对一切满足的点,必有
3、设函数在闭域上连续,分析若为中任意两点, 且, 则对任何满足不等式的实数, 必 点, 使得
第十六章 多元函数的极限与连续 第三单元测验
1、若A是期末二元函数定义域的非孤立点，二元函数在点A处存在重极限是答案答案在点A处二元函数连续的
A、充分不必要条件
B、慕课必要不充分条件
C、完整充要条件
D、数学其他选项都不对
2、分析二元函数在点A连续，期末且f(A)>0, 则必存在A的某个邻域，使得在该邻域内二元函数值恒大于0.
3、二元函数在点A连续，且f(A)=0, 则必存在A的某个邻域，使得在该邻域内二元函数值恒等于0.
4、二元函数在点A连续，且f(A)<0, 则必存在A的某个邻域，使得在该邻域内二元函数值恒小于0.
5、若存在A的某个邻域，使得在该邻域内二元函数有界，则该二元函数在点A连续.
6、若二元函数在点A处存在重极限，则在点A处二元函数连续
7、若二元函数在点A处以f(A)为极限，则在点A处二元函数连续.
8、若, 则
9、若, 则
10、若二元函数在点A都连续，且, 则必存在点A的某邻域，在该邻域上恒有
11、若二元函数在点A都不连续，则在点A不连续
12、闭域上的连续函数必有最大最小值
13、有界闭集上的连续函数的值域一定是闭区间.
14、有界闭集上的连续函数满足介值性
15、二元函数在点A连续，则必存在A的某个邻域，使得在该邻域内二元函数有界.
16、有界区域上的二元连续函数必有界.
17、有界闭集上的二元连续函数必有最大最小值
第十六章 多元函数的极限与连续 第三单元作业
1、叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
2、设在上分别对每一自变量和是连续的，并且每当固定时对是单调的，证明是上的二元连续函数.
第十八章 隐函数定理及其应用 第三单元
第九讲 平面曲线的切线与法线随堂测验
1、曲线由方程给出, 在上一点处 为
2、曲线由方程给出, 在上一点处 方程为
3、曲线由方程给出, 在上一点处 方程为.
第十讲 空间曲线的切线与法平面随堂测验
1、用参数方程表示的空间曲线 若，且有, 处的 方程为
2、过点且垂直于切线的平面，称为曲线在点处的 .
3、切线的方向向量即为法平面的法向量，所以 的方程为
4、用直角坐标方程表示的空间曲线： 若在某邻域内具有连续一阶偏导数, 且 其中 方程为
5、方程为
第十一讲 曲面的切平面与法线随堂测验
1、曲面由方程给出. 若点在某内具有连续的一阶偏导数, 而且 方程为
2、方程为
第十二讲 拉格朗日乘数法随堂测验
1、记, 并设 若存在使得， 则称是在约束条件之下的 值。
2、引入辅助函数 把条件极值问题转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题. 这种方法称为
第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元
第一讲 平面点集I随堂测验
1、平面点集称为点的圆
2、若使, 则称点是的 点
3、若在点的任何空心邻域内都含有中的点，则称点 是点集 的 点．
4、若点但不是 的聚点(即 使得, 则称点 是 的 点.
第二讲 平面点集 II随堂测验
1、若 中每一点都是的内点( 即 ),则称 为 集.
2、若 的所有聚点都属于 (即),则称 为 集.
3、若非空开集 E 具有连通性,即 E 中任意两点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接,则称 E 为
第三讲 R^2上的完备性定理随堂测验
1、设为平面点列，为一固定点， 若，使当 时，， 则称点列 于点，记作 或.
2、若 为有界无限点集, 则在中至少有一个 点.
3、设为一有界闭域 , 为一族开域 ,它覆盖了(即)， 那么中必存在 个开域, 它们同样覆盖了, 即.
第四讲 二元函数与n 元函数随堂测验
1、若二元函数的值域是有界数集,则称函数在上为 函数
2、所有 个有序实数组的全体称为维向量空间, 简称维空间, 记作. 其中每个有序实数组称为 中的一个点; 个实数是这个点的
第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元测验
1、平面点集的外点必是
A、聚点
B、孤立点
C、界点
D、其他选项都不对
2、下面哪个选项不可能是二元函数的图像
A、坐标平面
B、平面上的点集
C、坐标轴
D、三维空间中的球面
3、平面点集的内点必是
A、外点
B、界点
C、聚点
D、孤立点
4、开集中的点可能是
A、集合的内点
B、集合的外点
C、集合的聚点
D、集合的界点
5、非空域中的点可能是
A、集合的内点
B、集合的界点
C、集合的外点
D、集合的聚点
6、二元函数的定义域可能是
A、平面上的曲线
B、平面上的闭集
C、三维空间上的球及其内部
D、三维空间上的立方体
7、闭集中的点可能是
A、集合的外点
B、集合的内点
C、集合的聚点
D、集合的孤立点
8、二元函数的图像可能是
A、平面上的曲线
B、三维空间中的球面
C、三维空间中的曲线
D、三维空间中的曲面
9、平面上点的空心邻域是
10、平面上点的空心邻域是
11、闭域一定是连通闭集
12、连通开集一定是开域
13、无界点集必有聚点
14、平面点集的聚点一定属于该点集
15、平面上点的空心邻域是
16、连通闭集一定是闭域
17、有界点集必有聚点
18、二元函数的定义域是二元函数的图像在平面上的投影
第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元作业
1、已知，求
2、设，若当时，，求函数和.
3、求函数的定义域，其中
4、证明开集的余集为闭集
5、证明，设，则在上无界的充要条件是存在，使
6、设是有界闭集，为的直径. 证明：存在，使得.
第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元
第六讲 二元函数的极限 I随堂测验
1、设二元函数定义在上,为的一个聚点,是一个 . 若使得当时, 都有 则称在 上当时以为极限,记作
第七讲 二元函数的极限 II随堂测验
1、的充要条件是：对于 的任一子集 ,只要仍是 的 点, 就有
2、若是它们的聚点, 使得与都存在， 但, 则 ．
3、 的充要条件是中任一满足条件的点列,它所对应的数列都收敛．
第八讲 累次极限随堂测验
1、设在轴、轴上的投影分别为，即，分别是的聚点， 若对每一个存在， 它一般与有关，记作， 如果进一步还存在, 则称为先对后对的 , 记作
2、若的重极限与累次极限都存在, 则两者必定 .
3、若累次极限与都存在但不相等, 则重极限必定 .
第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元测试
1、二元函数的极限可以在定义域的哪些点处讨论
A、非孤立界点
B、内点
C、外点
D、聚点
2、下面叙述错误的是
A、在A的某个空心邻域上恒正且在点A处存在极限，那么极限值大于0
B、在A的某个空心邻域上恒负且在点A处存在极限，那么极限值小于0
C、在A的某个邻域上恒负且在点A处存在极限，那么极限值小于0
D、在A的某个空心邻域上恒负且在点A处存在极限，那么极限值不大于0
3、下列哪些条件不能推出在点处存在极限
A、在点处的两个累次极限都存在且相等
B、对任意含于定义域且以为极限的点列都有
C、存在某个以为聚点的定义域的子集，限制在该子集时在点处存在极限
D、存在含于定义域且以为极限的两个点列，有, 且
4、二元函数的极限只能在定义域的界点处讨论
5、若在点处存在极限，在点处存在极限，则在点处存在极限
6、若在点处存在极限，在点处存在极限，则在点处存在极限
7、若在点的某空心邻域上恒有, 且，在点处的极限分别为，,则
8、在点处存在极限，则极限值唯一
9、若二元函数在点A的某个空心邻域上有界，则函数在该点处存在极限
10、在点处以0为极限的充要条件是在点处以0为极限
11、若在点处极限为, 则在点处的极限为
12、若存在含于定义域且以为极限的两个点列，有, 且，则在点处无极限
13、重极限存在，那么累次极限一定存在
14、重极限和累次极限都存在，那么一定相等
15、二元函数的极限必须在定义域的内点处才可以定义
16、两个二元函数在一点处一个存在极限，一个不存在极限，那么它们的和在该点处极限不存在
17、若二元函数在定义域的某个聚点处不存在极限，那么一定存在某个以该聚点为极限的含于定义域的点列，该点列对应的函数值数列发散
18、若二元函数在点A处有极限，那么必定存在A的某个空心邻域，函数在该空心邻域上有界
19、两个累次极限都存在且相等，那么重极限一定存在
20、两个累次极限都存在但极限值不同，那么重极限一定不存在
第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元作业
1、设，，且在附近有. 证明
2、讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限
3、讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限
4、叙述并证明二元函数极限的局部保号性定理
5、叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理
6、叙述并证明二元函数极限的唯一性定理
第十七章 多元函数微分学 第一单元
第一讲 全微分和偏导数随堂测验
1、定义1 设函数在某邻域内有定义，对于， 若在的全增量可表示为： 其中是仅与点有关的常数，则称在点可微， 并称关于的线性表达式为在点的 ，记作
2、定义2 设函数，且在的某邻域内有定义，则当极限 存在时，称此极限为在点关于的 ,记作
第二讲 可微性条件随堂测验
1、定理17.1（可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点处可微, 则在该点关于每个自变量的偏导数都 ．
2、定理17.2（可微的充分条件）若函数在点的某邻域内存在 偏导数与, 且它们在点 , 则在点可微.
3、若的偏导数与,在点都连续, 则称在点 .
第三讲 可微性的几何意义随堂测验
1、定义3 设曲面上一点为通过点的一个平面,上的动点到定点 和到平面的距离分别记为和. 若当在上以任意方式趋近于时, 恒有, 则称为曲面在点的 , 为切点.
2、定理17.4 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是: 函数在点 .
第四讲 可微性的几何意义II随堂测验
1、函数在点可微, 则曲面在点处的 方程为 ,
2、过切点与切平面垂直的直线称为曲面在点的 .
3、函数在点可微, 则曲面在点处的 方程为
第十七章 多元函数微分学 第一单元测验
1、设在点的两个偏导数都存在，则
A、在点可微
B、在必存在重极限
C、在连续
D、在对连续
2、设，则在点的值为
A、36
B、72
C、108
D、144
3、设函数 ,则在点的值为
A、1
B、
C、
D、
4、若在点的全微分存在，则
A、它的两个偏导数在处一定存在
B、在必存在重极限
C、它的两个偏导数在处一定存在且连续
D、在必连续
5、若在点的两个偏导数存在且连续,则
A、在点可微
B、在点连续
C、在点存在重极限
D、偏导数可微
6、设在点的两个偏导数都存在，则
A、 在点 对连续
B、 在点 对连续
C、在点的全微分存在
D、在点连续
7、设在点的两个偏导数都存在，则在必连续.
8、若在点的全微分存在,则它的两个偏导数在处一定存在且连续.
9、若在点的全微分存在,则它的两个偏导数在处一定存在
10、若在点偏导数存在,则在点可微.
11、对于二元函数,如果两个偏导数都存在, 且连续,则的全微分存在.
12、设在点的两个偏导数都存在，则在必存在重极限.
13、设在点的两个偏导数都存在，则在必存在累次极限.
14、设在点可微，则在必存在重极限
15、设函数,则
16、设 在点 对可偏导，则 在点 对连续
17、设在点可微，则在必连续
18、设在点的两个偏导数存在且连续，则在可微
19、设函数 ,则在点的值为
第十七章 多元函数微分学 第二单元
第六讲 复合函数的求导法则随堂测验
1、定理17.5 若函数在点可微, 在点可微, 则复合函数在点可微，且关于与的偏导数分别为 , 该公式也称为 法则.
第八讲 复合函数的全微分随堂测验
1、多元函数的 阶 (全) 微分形式不变性
第九讲 方向导数与梯度随堂测验
1、设函数在点的某邻域内有定义, 为从点出发的射线, 任给, 记，若极限 存在, 则称此极限为函数在点沿方向的 , 记作，或
2、定理17.6 若在点可微, 则在点沿任一方向的方向导数都 ， 且 其中为的方向余弦.
3、定义2 若在点存在对所有自变量的偏导数， 则称向量 为函数在点的 (gradient)， 记作
第十七章 多元函数微分学 第二单元测验
1、函数在点处沿方向的方向导数为
A、2
B、1
C、
D、
2、，， 则复合函数的全微分等于
A、
B、
C、
D、
3、多元函数在点处存在各个方向的方向导数是多元函数在点处连续的
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、既非充分也非必要条件
4、二元函数在点可微，和在点存在偏导，，那么复合函数在点可微
5、二元函数在点存在两个偏导，和在点可微，，那么复合函数在点可微
6、梯度方向的反方向是多元函数减少最快的方向
7、多元函数若在点处存在各个方向的方向导数，则函数在点处可微
8、多元函数若在点处存在各个方向的方向导数，则函数在点处存在所有偏导数
9、多元函数若在点处存在各个方向的方向导数，则函数在点处连续
10、多元函数若在点处存在各个方向的方向导数，则函数在点处存在重极限
11、多元函数若在点处存在所有偏导数，则函数在点处存在各个方向的方向导数
12、函数在点处沿方向的方向导数为2
13、多元函数若在点处的偏导数连续，则函数在点处存在各个方向的方向导数
14、多元函数若在点处连续，则函数在点处存在各个方向的方向导数
15、多元函数若在点处存在所有偏导数，则函数在点处存在梯度
16、二元函数在点存在两个偏导，和在点存在偏导，，那么复合函数在点存在偏导，且 ,
17、二元函数在点可微，和在点存在偏导，，那么复合函数在点存在偏导，且 ,
18、二元函数在点可微，和在点存在偏导，，那么复合函数在点的全微分
19、二元函数在点可微，和在点可微，，那么复合函数在点可微
20、二元函数在点可微，和在点存在偏导，，那么复合函数在点可微
21、梯度方向是多元函数值增长最快的方向
22、多元函数可微，则存在各个方向的方向导数
23、,, 则复合函数在点关于的偏导数为
第十七章 多元函数微分学 第三单元
第十一讲 高阶偏导数 I随堂测验
1、的偏导数仍然是的函数，如果它们关于与的偏导数也存在， 则称具有 阶偏导数
2、既有又有的高阶偏导数称为 偏导数
第十二讲 高阶偏导数 II随堂测验
1、定理17.7 若与都在点 ， 则.
2、复合函数的高阶偏导数 设， 若函数都具有连续的二阶偏导数， 则复合函数对于同样存在 阶连续偏导数.
第十三讲 中值定理随堂测验
1、若区域上任意两点的连线都含于, 则称 为 区域
2、定理17.8（中值定理）设在 区域上连续, 在 的内部可微, 则对 内任意两点, 使得.
3、推论 若函数在区域上存在偏导数，且, 则在区域上为 函数．
第十七章 多元函数微分学 第三单元测验
1、，则=
A、
B、
C、
D、
2、，则=
A、
B、
C、
D、
3、已知，则=
A、
B、
C、
D、
4、已知，则=
A、
B、
C、
D、
5、已知，则=
A、
B、
C、
D、
6、已知，则=
A、
B、
C、
D、
7、，则=
A、
B、
C、
D、
8、已知，则=
A、
B、
C、
D、
9、已知,则=
A、
B、
C、
D、
10、函数的两个混合偏导数都存在且连续，则
11、函数的所有混合偏导数都存在，则
12、若函数在的二阶混合偏导数和都存在, 则在成立
13、函数的两个混合偏导数一定有
第十七章 多元函数微分学 第四单元
第十五讲 极值问题随堂测验
1、定义 设在点的某邻域内有定义，若, 满足， 则称在点取得 值，
2、定理17.10（极值的必要条件）若函数在点存在 , 且在取得极值, 则必有.
3、若函数在点满足, 则称点为的 点.
4、假定点具有二阶连续偏导数，记 称为在点的 (Hesse)矩阵.
5、定理17.11（极值的充分条件）设在点的某邻域内具有二阶连续偏导数, 且为的稳定点, 则有: 为正定矩阵为 值
第十七章 多元函数微分学 第四单元测验
1、函数在点处取得极值是的
A、充分条件
B、必要条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
2、函数在点处，则在点处必取得极值
3、函数在点处，则在点处一定取不到极值
4、函数在点处，则在点处一定取不到极值
5、函数在点处具有一阶偏导数，且在点处取得极值，则
第十八章 隐函数定理及其应用 第一单元
第一讲 隐函数的概念随堂测验
1、自变量与因变量之间的关系是由某一个方程式所确定的函数,通常称为 函数.
2、设, 对于方程，若存在，使得对任一，有唯一确定的使得，且满足方程，则称由方程确定了一个定义在，值域含于的
第二讲 隐函数定理随堂测验
1、定理18.1（隐函数存在唯一性定理）设方程中的函数满足以下四个条件： (i) 在以为内点的某区域上连续； (ii)(初始条件), (iii)在内存在连续的偏导数, (iv). 则有如下结论成立： 1、存在某邻域，在上惟一地确定了一个隐函数, 它满足：且当时, 有 2、在上 .
第三讲 隐函数可微性定理随堂测验
1、定理18.2（隐函数可微性定理）设函数满足定理 18.1 中的条件 (i) ～ (iv), 在内还存在连续, 则由方程所确定的隐函数在内有 的导函数, 且
2、当存在二阶连续偏导数时，所得隐函数也 阶可导.
第十八章 隐函数定理及其应用 第一单元测验
1、有多少个函数满足方程?
A、0
B、1
C、2
D、无穷个
2、设，则在点（1,-2,1）的值为
A、
B、
C、
D、
3、设，则在点（1,-2,1）的值为
A、
B、
C、
D、
4、设，则在点（1,-2,1）的值为
A、
B、
C、
D、
5、
A、k=1,m=3
B、m=2,k=1
C、m=k=2
D、m=3.k=1
6、若方程可以在点附近确定隐函数, 则有
7、方程在点附近可以确定隐函数
8、方程在点附近可以确定隐函数
9、若方程可以在点附近确定隐函数, 则有
10、由方程所确定的隐函数对的一阶偏导数=（ ）
11、由方程所确定的隐函数对的一阶偏导数=（ ）
12、由方程所确定的隐函数对的一阶偏导数=（ ）
13、由方程所确定的隐函数对的一阶偏导数=（ ）
14、设，则在点（0,0,-1）的值为
15、设，则在点（0,0,-1）的值为
16、设，则在点（1,-2,1）的值为
17、由方程所确定的隐函数对的一阶偏导数=（ ）
第十八章 隐函数定理及其应用 第二单元
第五讲 隐函数组定理随堂测验
1、设有一组方程其中与定义在. 若存在, 使得对于任给的, 有唯一的与之对应, 使得, 且满足方程组, 则称由方程组确定了 并有
2、定理18.4（隐函数组定理） 设方程组满足下列条件： (i) 在以点为内点的某区域上连续; (ii)(初始条件), (iii) 在内存在连续的一阶偏导数； (iv). 则有如下结论成立： 1、必定存在邻域, 使得在上方程组唯一确定了定义在某二维邻域上的两个二元隐函数, 使得，且当时 2、在上连续； 3、在上存在一阶 偏导数
学习通数学分析（五）_4
本节课继续讲解李氏可积性及其应用。李氏可积性是实分析中非常重要的一个概念，有着广泛的应用。
一、李氏可积性与广义积分
先回忆一下广义积分的定义：对于区间 $[a,b)$ 上的非负连续函数 $f(x)$，如果 $\\displaystyle\\int_a^bf(x)\\mathrm dx$ 的极限存在，那么称该广义积分收敛，否则称发散。
现在我们考虑更一般的情况，即对于一个非负的可测函数 $f(x)$，如果其在区间 $[a,b)$ 上李可可积，那么我们可以定义其对应的广义积分为
$$\\displaystyle\\int_a^bf(x)\\mathrm dx=\\lim_{ t\\to b-0}\\int_a^tf(x)\\mathrm dx$$这里的积分定义是正规的黎曼积分。如果上述极限存在，那么称该广义积分收敛，否则称发散。
二、李氏可积性的条件
那么一个函数在区间内李可可积的条件是什么呢？下面给出两个充分条件。
条件一：如果 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上的任意一个有限子区间内，都满足
$$\\int_{ \\text{ 该子区间}}|f(x)|\\mathrm dx<\\infty$$那么我们称 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上李可可积。
条件二：如果 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上有一个可测集 $E$，满足
$$\\int_E|f(x)|\\mathrm dx<\\infty$$那么我们称 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上李可可积。
三、李氏可积性的应用
李氏可积性具有非常广泛的应用，下面介绍其中的两个应用。
1. 改变积分路径
设 $f(z)$ 是复平面上某个区域内的解析函数，$C$ 是一段从 $z_1$ 到 $z_2$ 的光滑曲线。那么可以证明，积分
$$\\int_Cf(z)\\mathrm dz$$的值不依赖于曲线的形状，而仅仅与起点和终点有关。
这个结论的证明需要用到李氏可积性。具体来说，我们可以取一个包含 $C$ 的圆形区域 $D$（假定 $C$ 是简单闭合曲线），并令 $f(z)$ 在 $D$ 内为 非负实值函数：$f(z)=|f(z)|$。则有
$$\\int_Cf(z)\\mathrm dz=\\int_Df(z)\\mathrm dz$$ 这里的积分是沿着圆的边界逆时针进行的。可以证明，$f(z)$ 是 $D$ 上的可测函数（可以用逆映射定理证明），并且在 $D$ 的每个小圆中都李可可积。因此，由李氏可积性可知，上式右端的积分是收敛的。
2. 线性无关性的证明
证明向量组 $v_1,v_2,\\cdots,v_n$ 线性无关的一个方法就是考虑函数组 $f_1(x),f_2(x),\\cdots,f_n(x)$，其中
$$f_k(x)=\\begin{ cases}1 & x=v_k \\\\ 0 & \\text{ 其它情况}\\end{ cases}$$ 如果函数组 $f_1(x),f_2(x),\\cdots,f_n(x)$ 在某个区间内 $[a,b)$ 李可可积，那么向量组 $v_1,v_2,\\cdots,v_n$ 就线性无关。
这个结论可以通过“切比雪夫不等式”来证明。该不等式表示，如果 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上的绝对值平方可积，那么
$$\\lim_{ n\\to\\infty}\\int_a^b[f(x)-p_n(x)]^2\\mathrm dx=0$$ 其中 $p_n(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上的某个多项式。在我们的情况下，$f_k(x)$ 除了在 $v_k$ 处取值为 1 以外全部为 0，因此 $f_k(x)$ 的平方的积分只有在 $v_k$ 处可能不为 0。但是，由于 $f_1(x),f_2(x),\\cdots,f_n(x)$ 在 $[a,b)$ 内李可可积，因此 $f_k(x)$ 的绝对值平方也在 $[a,b)$ 上可积，根据切比雪夫不等式的结论，线性组合 $\\sum\\alpha_kf_k(x)$ 可以被一个多项式 $p_n(x)$ 逐点逼近，从而无法在 $v_1,v_2,\\cdots,v_n$ 所在的点线性表出。
四、总结
本节课讲解了李氏可积性及其应用。李氏可积性是实分析中非常重要的一个概念，有着广泛的应用。李氏可积性的定义并不复杂，但是在应用中会涉及到一些复杂的场景，需要结合具体情况进行推导。通过本节课的学习，我们加深了对于李氏可积性的理解，对于应用场景也有了更深入的认识。
中国大学数学分析（五）_4
前言
本文是关于中国大学数学分析（五）第四章的介绍，主要涉及到多元函数微分学的相关内容，其中包括多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分以及隐函数定理等方面。
多元函数的极限
多元函数的极限和一元函数的极限类似，但是需要注意的是，多元函数需要沿任意路径趋近于该点时，其极限值都相同才能够存在极限。
举个例子，对于函数 $f(x,y)=\\frac{ xy}{ x^2+y^2}$，我们要求 $(0,0)$ 处的极限值。可以通过沿着直线 $y=kx$ 趋近于 $(0,0)$，然后将 $y=kx$ 带入 $f(x,y)$ 中进行讨论，得到极限值为 0。同理，沿着 $y=x^2$ 趋近于 $(0,0)$，也可以得到极限值为 0。因此，该函数在 $(0,0)$ 处存在极限，且极限值为 0。
多元函数的连续性
多元函数的连续性需要满足沿着任意路径趋近于该点时，其极限值都相同且存在，才能够说该函数在该点连续。
举个例子，对于函数 $f(x,y)=\\frac{ xy}{ x^2+y^2}$，我们要判断其在 $(0,0)$ 处是否连续。可以通过求出该点处的极限，即 $\\lim_{ (x,y)\\to(0,0)}\\frac{ xy}{ x^2+y^2}=0$，然后再判断极限值是否等于函数在该点的取值，即 $f(0,0)=0$。由于极限值等于函数在该点的取值，因此该函数在 $(0,0)$ 处连续。
多元函数的偏导数
对于多元函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，如果将其看作一个函数关于其中一个变量的导数，那么得到的函数就是该函数的偏导数。
举个例子，对于函数 $f(x,y)=x^2+y^2$，我们可以得到它的偏导数 $f_x=2x$ 和 $f_y=2y$。
多元函数的全微分
如果一个函数在某点处存在偏导数，那么该函数在该点处就可以进行全微分，其值为 $df=f_xdx+f_ydy$。
举个例子，对于函数 $f(x,y)=x^2+y^2$，其在任意点处都存在偏导数，因此可以进行全微分，其值为 $df=2xdx+2ydy$。
隐函数定理
如果一个函数可以表示为 $F(x,y)=0$ 的形式，并且在某一点 $(x_0,y_0)$ 处 $\\frac{ \\partial F}{ \\partial y}\\neq 0$，那么该函数在该点处就可以表示为 $y=y(x)$ 的形式。
举个例子，对于函数 $F(x,y)=x^2+y^2-1$，其可以表示为 $F(x,y)=0$ 的形式。在点 $(0,1)$ 处，$\\frac{ \\partial F}{ \\partial y}=2y\\neq 0$，因此可以得到 $y=y(x)=\\sqrt{ 1-x^2}$。同理，在点 $(0,-1)$ 处，也可以得到 $y=y(x)=-\\sqrt{ 1-x^2}$。
总结
本文介绍了多元函数微分学的相关内容，包括多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分以及隐函数定理等方面。对于多元函数微分学的学习，需要掌握其相关概念和定理，并且进行大量的实践和练习，才能够真正掌握其精髓。
