超星数学分析（三）_4期末答案(学习通2023题目答案)

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第九章 定积分1

第2讲 定积分定义随堂测验

1、超星

2、数学

第3讲 牛顿—莱布尼茨公式随堂测验

1、分析判断下列计算过程是期末否正确

2、

第4讲 可积条件随堂测验

1、答案闭区间上的学习有界函数必可积

2、闭区间上的通题可积函数必有界

第5讲 可积函数类随堂测验

1、下列函数类哪些是目答可积函数类
A、闭区间上的超星连续函数
B、闭区间上的数学单调增函数
C、闭区间上仅有有限个间断点的分析函数
D、闭区间上的期末单调减函数

2、闭区间上有无限多个间断点的答案函数必不可积

第九章 定积分2

第7讲 定积分的运算性质随堂测验

1、在上可积，学习在上可积，通题则在上可积

2、在上可积，在上可积，则在上可积

第8讲 定积分的基本性质随堂测验

1、在上可积，则在上可积

2、，则在区间上处处有

第9讲 积分第一中值定理随堂测验

1、在上可积，则存在，使得

2、、在上均连续，则存在，使得

第11讲 变限积分,原函数的存在性随堂测验

1、，则
A、
B、
C、1
D、0

2、，则

第12讲 积分第二中值定理随堂测验

1、在上连续，在上单调，则存在，使得

2、在上连续，在上可积，则存在，使得

第九章 定积分3

第13讲 换元积分法随堂测验

1、以下计算过程是否正确：

2、以下计算过程是否正确：

第14讲 分部积分法，泰勒公式的积分型余项随堂测验

1、计算时通常用分部积分法中的
A、降幂法
B、升幂法
C、循环法
D、递推法

2、计算时通常用分部积分法中的
A、降幂法
B、递推法
C、循环法
D、升幂法

第16讲 上和与下和的性质随堂测验

1、下列叙述正确的是
A、当分割加细（即在原区间的分割基础上增加分割点）时，上和单调增
B、当分割加细（即在原区间的分割基础上增加分割点）时，上和单调减
C、当分割加细（即在原区间的分割基础上增加分割点）时，下和单调减
D、当分割加细（即在原区间的分割基础上增加分割点）时，下和单调增

2、下列叙述不正确的是
A、当分割加细（即在原区间的分割基础上增加分割点）时，上和严格减
B、当分割加细（即在原区间的分割基础上增加分割点）时，下和严格增
C、当分割加细（即在原区间的分割基础上增加分割点）时，振幅和严格增
D、当分割加细（即在原区间的分割基础上增加分割点）时，振幅和不增

第17讲 可积的充要条件随堂测验

1、下列叙述哪些是函数在区间上可积的等价条件
A、
B、
C、
D、

2、下列叙述哪些是函数在区间上可积的等价条件
A、，使得属于的小区间中振幅小于的小区间总长度小于
B、，使得属于的小区间中振幅不小于的小区间总长度小于
C、，使得属于的小区间中振幅超过的小区间总长度不超过
D、，使得属于的小区间中振幅超过的小区间总长度小于

第十章 定积分的应用1

第1讲 直角坐标方程表示的平面图形的面积随堂测验

1、由曲线以及直线轴围成的平面面积为

2、由曲线以及直线围成的平面图形面积为

第2讲 参数方程、极坐标表示的平面图形的面积随堂测验

1、由曲线（其中连续，连续可微且）以及直线 （其中）和轴所围图形的面积为
A、
B、
C、
D、

2、由极坐标曲线以及射线所围图形的面积为
A、
B、
C、
D、

第3讲 由平行截面面积求体积随堂测验

1、设连续，是由平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体，那么的体积为
A、
B、
C、
D、

2、设()连续可微，是由平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体，那么的体积为
A、
B、
C、
D、

第4讲 平面曲线的弧长随堂测验

1、下列公式哪些是弧长的计算公式
A、
B、
C、
D、

第十章 定积分的应用2

第5讲 曲率随堂测验

1、下列叙述正确的是
A、光滑曲线一点处的曲率圆的半径为该点处的曲率
B、光滑曲线一点处的曲率圆的半径为该点处的曲率的倒数
C、光滑曲线一点处的曲率圆的圆心就是该点
D、光滑曲线一点处的曲率圆的圆心在曲线该点处的切线上

2、光滑曲线一点处的曲率表示
A、该点处曲线的弯曲程度
B、曲线连续
C、曲线光滑
D、曲线间断

第6讲 旋转曲面的面积随堂测验

1、光滑曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面的面积公式是

2、光滑曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面的面积是

第8讲 定积分的近似计算随堂测验

1、在近似计算定积分时抛物线法一定比梯形法更精确

2、由梯形法求定积分近似值时，当被积函数为凸函数时计算结果偏小

第十一章 反常积分1

第1讲 问题提出，两类反常积分的定义随堂测验

1、无穷积分收敛，则收敛

2、

第2讲 无穷积分的性质随堂测验

1、若，都收敛，则也收敛

2、若，都发散，则也发散

第3讲 非负函数无穷积分的收敛判别法随堂测验

1、
A、对任意实数都收敛
B、当时收敛
C、当时收敛
D、当时收敛

2、,是定义在上的非负函数且,那么有
A、收敛时收敛
B、发散时发散
C、收敛时收敛
D、发散时发散

第十一章 反常积分2

第4讲 一般函数无穷积分的判别法随堂测验

1、以下哪些选项是阿贝尔判别法推出无穷积分收敛的条件
A、在上有界
B、收敛
C、在上单调
D、在上有界

2、以下哪些选项是狄利克雷判别法推出无穷积分收敛的条件
A、在上有界
B、在上单调
C、在上单调
D、

第5讲 瑕积分的性质与收敛判别随堂测验

1、瑕积分（瑕点为）都收敛，则瑕积分（瑕点为）也收敛

2、瑕积分（瑕点为）收敛,则瑕积分（瑕点为）也收敛

第八章 不定积分1

第1讲 原函数与不定积分随堂测验

1、若在内存在原函数，则在内必有
A、可导
B、连续
C、存在不定积分
D、为初等函数

2、一切初等函数在其定义区间上都有原函数

第2讲 不定积分的几何意义、基本积分表随堂测验

1、设且为偶函数，则必为奇函数

2、函数（为正常数）和是同一函数的原函数

第3讲 换元积分法：第一换元积分法随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

第4讲 换元积分法：第二换元积分法随堂测验

1、在计算含有项的不定积分时，常用的换元是
A、
B、
C、
D、

2、在计算含有项的不定积分时，常用的换元是
A、
B、
C、
D、

3、在计算含有项的不定积分时，常用的换元是
A、
B、
C、
D、

第八章 不定积分2

第5讲 分部积分法随堂测验

1、计算时通常应使用分部积分法中的
A、降幂法
B、升幂法
C、循环法
D、递推法

2、计算的原函数时通常应使用分部积分法中的
A、升幂法
B、降幂法
C、循环法
D、递推法

第7讲 有理函数的部分分式分解随堂测验

1、在有理函数的部分分式分解中————————

2、在有理函数的部分分式分解中————————

第8讲 有理真分式的递推公式随堂测验

1、，其中————————

2、，其中————————

第八章 不定积分3

第9讲 三角函数有理式的不定积分随堂测验

1、在计算三角函数有理式的不定积分中一般使用变换
A、
B、
C、
D、

2、令, 中___________

第10讲 某些无理函数的不定积分（1）随堂测验

1、令，在中___________

2、令，在中___________

第11讲 某些无理函数的不定积分（2）随堂测验

1、在型不定积分的计算中中通常可以采用变换
A、
B、
C、
D、

2、在型不定积分的计算中中通常可以采用变换
A、
B、
C、
D、

3、下列选项中哪一个的原函数不能用初等函数表示
A、
B、
C、
D、

学习通数学分析（三）_4

1. 导数应用题

导数是微积分中非常重要的概念，可以用来求函数的极值、最大值、最小值等。下面是一些常见的导数应用题。

1.1 求函数的极值

当函数的导数为0时，函数在该点可能取得极值。求函数的极值可以采用以下步骤：

1. 求导数
2. 解方程得到导数为0的解
3. 将解带入原函数得到函数的取值
4. 比较函数在解点处的取值，即可判断出极值类型。

1.2 求函数的最大值和最小值

如果函数在定义域上是连续的，且在闭区间内存在极值，那么函数在该闭区间的最大值和最小值一定是在极值点处取得。求函数的最大值和最小值可以采用以下步骤：

1. 求导数
2. 解方程得到导数为0的解，以及区间端点处的导数为0的解（如果有的话）
3. 将解带入原函数得到函数的取值
4. 比较函数在所有解点处的取值，即可得到最大值和最小值。

2. 微分中值定理

微分中值定理是微积分中的重要定理，它反映了函数在某些点处的变化率与函数在其他点处变化率的联系。

2.1 罗尔定理

如果函数f在闭区间[a,b]上满足以下条件：

1. f在[a,b]上连续
2. f在(a,b)内可导
3. f(a)=f(b)

则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。即函数在开区间内某点的切线平行于x轴。

2.2 拉格朗日中值定理

如果函数f在闭区间[a,b]上满足以下条件：

1. f在[a,b]上连续
2. f在(a,b)内可导

则在(a,b)内至少存在一点c，使得：

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

即函数在某点的切线斜率等于函数在区间上的平均变化率。

2.3 柯西中值定理

如果函数f和g在闭区间[a,b]上满足以下条件：

1. f和g在[a,b]上连续
2. f和g在(a,b)内可导
3. g'(x)≠0，x∈(a,b)

则在(a,b)内至少存在一点c，使得：

[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c)

即函数f和g在某点的切线斜率之比等于函数在该区间上的函数值之比。

3. 泰勒公式

泰勒公式是微积分中另一个重要的定理，它可以将函数在某点附近的取值表示为该点的函数值、导数、二阶导数等的函数。

3.1 泰勒中值定理

如果函数f在闭区间[a,b]上满足以下条件：

1. f在[a,b]上n次可导
2. x0∈(a,b)

则存在c∈(a,b)，使得：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...+[f^(n)(x0)/(n!)](x-x0)^n+[f^(n+1)(c)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)

其中f^(k)(x)表示f(x)的k阶导数。

3.2 麦克劳林公式

泰勒公式在x0=0的情况下被称为麦克劳林公式：

f(x)=f(0)+f'(0)x+...+[f^(n)(0)/(n!)]x^n+[f^(n+1)(c)/(n+1)!]x^(n+1)

当n趋于无穷大时，麦克劳林公式可以表示为：

f(x)=f(0)+f'(0)x+...+(1/n!)f^(n)(0)x^n+...（幂级数形式）

学习通数学分析（三）_4

1. 导数应用题

导数是微积分中非常重要的概念，可以用来求函数的极值、最大值、最小值等。下面是一些常见的导数应用题。

1.1 求函数的极值

当函数的导数为0时，函数在该点可能取得极值。求函数的极值可以采用以下步骤：

1. 求导数
2. 解方程得到导数为0的解
3. 将解带入原函数得到函数的取值
4. 比较函数在解点处的取值，即可判断出极值类型。

1.2 求函数的最大值和最小值

如果函数在定义域上是连续的，且在闭区间内存在极值，那么函数在该闭区间的最大值和最小值一定是在极值点处取得。求函数的最大值和最小值可以采用以下步骤：

1. 求导数
2. 解方程得到导数为0的解，以及区间端点处的导数为0的解（如果有的话）
3. 将解带入原函数得到函数的取值
4. 比较函数在所有解点处的取值，即可得到最大值和最小值。

2. 微分中值定理

微分中值定理是微积分中的重要定理，它反映了函数在某些点处的变化率与函数在其他点处变化率的联系。

2.1 罗尔定理

如果函数f在闭区间[a,b]上满足以下条件：

1. f在[a,b]上连续
2. f在(a,b)内可导
3. f(a)=f(b)

则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。即函数在开区间内某点的切线平行于x轴。

2.2 拉格朗日中值定理

如果函数f在闭区间[a,b]上满足以下条件：

1. f在[a,b]上连续
2. f在(a,b)内可导

则在(a,b)内至少存在一点c，使得：

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

即函数在某点的切线斜率等于函数在区间上的平均变化率。

2.3 柯西中值定理

如果函数f和g在闭区间[a,b]上满足以下条件：

1. f和g在[a,b]上连续
2. f和g在(a,b)内可导
3. g'(x)≠0，x∈(a,b)

则在(a,b)内至少存在一点c，使得：

[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c)

即函数f和g在某点的切线斜率之比等于函数在该区间上的函数值之比。

3. 泰勒公式

泰勒公式是微积分中另一个重要的定理，它可以将函数在某点附近的取值表示为该点的函数值、导数、二阶导数等的函数。

3.1 泰勒中值定理

如果函数f在闭区间[a,b]上满足以下条件：

1. f在[a,b]上n次可导
2. x0∈(a,b)

则存在c∈(a,b)，使得：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...+[f^(n)(x0)/(n!)](x-x0)^n+[f^(n+1)(c)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)

其中f^(k)(x)表示f(x)的k阶导数。

3.2 麦克劳林公式

泰勒公式在x0=0的情况下被称为麦克劳林公式：

f(x)=f(0)+f'(0)x+...+[f^(n)(0)/(n!)]x^n+[f^(n+1)(c)/(n+1)!]x^(n+1)

当n趋于无穷大时，麦克劳林公式可以表示为：

f(x)=f(0)+f'(0)x+...+(1/n!)f^(n)(0)x^n+...（幂级数形式）