超星高等数学_27答案(学习通2023课后作业答案)

超星高等数学_27答案(学习通2023课后作业答案)

点击查看答案

学习通高等数学_27

本次课程主要讲解高等数学中的多元函数积分学。所谓多元函数积分学，就是指涉及到多元函数的积分相关知识。

一、二重积分

二重积分是对平面区域上某个函数的积分，可以用来计算平面区域面积、重心、平均值等。其一般形式为：

$$ \\iint_D f(x,y) d\\sigma $$

其中，$D$ 表示平面区域，$f(x,y)$ 表示被积函数，$d\\sigma$ 表示微元面积。

二重积分有两种计算方法：极坐标法和直角坐标法。

1.极坐标法

极坐标法适用于平面区域有简单闭合曲线围成的情况。

具体计算方法如下：

1. 确定积分区域 $D$，并使用极坐标变换 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$ 将被积函数 $f(x,y)$ 转换为极坐标形式 $f(r,\\theta)$。
2. 计算面积元素 $d\\sigma=rdrd\\theta$，并代入积分式。
3. 对 $r$ 和 $\\theta$ 进行积分。

2.直角坐标法

直角坐标法适用于平面区域没有简单闭合曲线围成的情况。

具体计算方法如下：

1. 将积分区域 $D$ 分解成若干个简单区域。
2. 依次对每个简单区域进行积分。

二、三重积分

三重积分是对空间区域上某个函数的积分，可以用来计算空间区域体积、重心、平均值等。其一般形式为：

$$ \\iiint_{ \\Omega} f(x,y,z) dV $$

其中，$\\Omega$ 表示空间区域，$f(x,y,z)$ 表示被积函数，$dV$ 表示微元体积。

三重积分有两种计算方法：柱面坐标法和球面坐标法。

1.柱面坐标法

柱面坐标法适用于空间区域可以用柱面坐标表示的情况。

具体计算方法如下：

1. 确定积分区域 $\\Omega$，并使用柱面坐标变换 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，$z=z$ 将被积函数 $f(x,y,z)$ 转换为柱面坐标形式 $f(r,\\theta,z)$。
2. 计算体积元素 $dV=rdrd\\theta dz$，并代入积分式。
3. 对 $r$、$\\theta$ 和 $z$ 进行积分。

2.球面坐标法

球面坐标法适用于空间区域可以用球面坐标表示的情况。

具体计算方法如下：

1. 确定积分区域 $\\Omega$，并使用球面坐标变换 $x=r\\sin\\phi\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\phi\\sin\\theta$，$z=r\\cos\\phi$ 将被积函数 $f(x,y,z)$ 转换为球面坐标形式 $f(r,\\phi,\\theta)$。
2. 计算体积元素 $dV=r^2\\sin\\phi drd\\phi d\\theta$，并代入积分式。
3. 对 $r$、$\\phi$ 和 $\\theta$ 进行积分。

三、总结

多元函数积分学是高等数学中重要而复杂的一部分，需要熟练掌握其相关知识和方法。在实际应用中，也需要将其与其他学科知识相结合，深入实践。