超星微积分Ⅰ_2课后答案(学习通2023题目答案)

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第一章 函数

1.1 函数及其性质随堂测验

1、超星设函数的微积定义域为,则的定义域为（ ).
A、
B、分Ⅰ
C、课后
D、答案

2、学习设函数是通题偶函数，是目答奇函数，则是超星（ ）
A、偶函数
B、微积奇函数
C、分Ⅰ非奇非偶函数
D、课后以上都不对

1.2 经济函数介绍随堂测验

1、答案设某产品的学习需求函数为 ,平均成本函数为,则利润的盈亏临界点为（ ）
A、3
B、通题5
C、5或15
D、15

第一章 函数单元测验

1、下列式子中（ ）表示函数.
A、
B、
C、
D、

2、与函数等价的函数是（ ）.
A、
B、
C、
D、

3、函数在（ ）所给的区间上有界.
A、[-1,1]
B、[1,3]
C、[3,5]
D、[5,6]

4、函数的定义域是（ ).
A、
B、
C、
D、

5、设的定义域为,则函数的定义域为（ ）.
A、
B、
C、
D、

6、函数,则函数的定义域是（ ）.
A、
B、
C、
D、

7、函数的定义域是（ ）.
A、
B、
C、
D、

8、函数是以（ ）为周期的周期函数.
A、
B、
C、
D、

9、狄利克雷(Dirichlet)函数是（ ）.
A、奇函数
B、单调函数
C、周期函数
D、常数函数

10、已知函数为奇函数，则函数是（ ）.
A、奇函数
B、偶函数
C、非奇非偶函数
D、周期函数

11、函数的图形（ ）.
A、关于原点对称
B、关于X轴对称
C、关于Y轴对称
D、关于直线对称

12、设是偶函数，是奇函数，则是( ).
A、偶函数
B、奇函数
C、非奇非偶函数
D、以上均不对

13、函数在定义域内（ ）.
A、有上界无下界
B、有下界无上界
C、有界，且
D、有界，且

14、若函数满足,且已知当时，有,则( ).
A、
B、
C、
D、

15、若函数满足,则( ).
A、
B、
C、
D、

16、设,则( ).
A、
B、
C、
D、

17、假定某公司每年耗用甲种材料3000公斤，每次订货成本为10元，每公斤存货每年的储存费用为1元，则甲种材料的库存函数为（ ）.
A、
B、
C、
D、

18、若为一一对应函数，则.

19、若函数,则.

20、设某产品需求函数为(为需求量，单位：件；为价格，单位：百元/每件），若生产该产品时的固定成本为100百元，多生产一件产品成本增加2百元，并假定市场均衡，则生产该产品的利润函数为.

第二章 极限与连续

2.1 函数与数列的极限随堂测验

1、已知，则.

2.1 函数与数列的极限随堂测验

1、无穷大量是极限不存在，极限不存在也一定是无穷大。

2.1 函数与数列的极限随堂测验

1、，（ ），使当时， 恒有,则.
A、
B、
C、
D、

2.2 极限的性质与运算随堂测验

1、极限（ ）
A、
B、
C、
D、

2、极限（ ）
A、+
B、1
C、
D、0

3、若极限存在，则函数有界。

2.3 极限存在准则与两个重要极限随堂测验

1、极限，则（ ）。
A、4
B、2
C、
D、1

2、

2.3 极限存在准则与两个重要极限随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、

2.4 无穷小量的性质与无穷小量的阶随堂测验

1、极限
A、1
B、
C、0
D、e

2、无穷小量乘任何变量都是无穷小量。

2.4 无穷小量的性质与无穷小量的阶随堂测验

1、极限
A、
B、
C、
D、-1

2.5 函数的连续性随堂测验

1、极限（ ）
A、-15
B、15
C、12
D、-12

2、极限（ ）
A、e
B、
C、-1
D、1

3、若极限存在，则函数在点 处连续。

2.5 函数的连续性随堂测验

1、（ ）中的函数在指定区间上至少有一个实根。
A、函数,区间。
B、函数，区间。
C、函数，区间。
D、函数，区间。

2、是函数的（ ）可去间断点。

第二章 极限与连续单元测验

1、极限存在是在处有定义的（ ）.
A、必要条件
B、充分条件
C、充要条件
D、无关条件

2、已知函数,则( ).
A、存在
B、不存在
C、可能存在也可能不存在
D、以上均不对

3、下列命题正确的是（ ）.
A、有界数列一定收敛
B、有极限的数列一定有界
C、有极限的函数一定有界
D、无极限的函数一定无界

4、极限为（ ）.
A、0
B、1
C、
D、不存在但不为

5、当时，函数的极限（ ）.
A、等于2
B、等于0
C、
D、不存在但不为

6、若,则( )
A、1
B、
C、
D、

7、函数在处连续，则( ).
A、(1,1)
B、(2,2)
C、(1,2)
D、(2,1)

8、极限,则( ).
A、3
B、2
C、
D、

9、当时，与等价的无穷小量是（ ）.
A、
B、
C、
D、

10、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ）.
A、
B、
C、
D、

11、,则的值为（ ）.
A、1
B、2
C、
D、

12、,则的值为（ ）.
A、-1
B、1
C、2
D、3

13、（ ）.
A、1
B、2
C、3
D、4

14、( ).
A、1
B、2
C、3
D、4

15、函数有（ ）.
A、可去间断点
B、跳跃间断点
C、无穷间断点
D、无间断点

16、函数的间断点有（ ）个.
A、0
B、1
C、2
D、3

17、( ).
A、1
B、
C、3
D、

18、( ).
A、
B、1
C、
D、2

19、( ).
A、
B、7
C、
D、

20、( ).
A、0
B、1
C、2
D、3

第三章 导数与微分

3.1 导数的概念随堂测验

1、函数在定义域内处处可导。

3.2 求导基本运算法则和求导基本公式随堂测验

1、若函数、、都可导，则。

3.2 求导基本运算法则和求导基本公式随堂测验

1、设为单调可导函数，，，则。

3.3 链法则与隐函数的导数随堂测验

1、设可导，则。

2、设可导，则。

3.3 链法则与隐函数的导数随堂测验

1、已知方程确定函数，则。

2、已知函数，则。

3.4 高阶导数随堂测验

1、已知函数，则。

2、已知函数，则。

3.5 微分随堂测验

1、已知函数在点处可导，则在点处（ ）。
A、是比的高阶无穷小。
B、是比的等价无穷小。
C、是比的同阶无穷小。
D、当很小时，。

2、已知函数，则。

3.6 边际与弹性随堂测验

1、设某商品的成本函数为,需求函数为，则产量为30时的边际利润及利润对销量的弹性分别为（ ）。
A、
B、
C、
D、

第三章 导数与微分单元测验

1、设函数在点处可导，且，，则（ ）。
A、0
B、1
C、3
D、5

2、若函数，则（ ）。
A、0
B、3
C、9
D、4.5

3、已知函数在点处可导，则( )。
A、
B、
C、
D、

4、设函数在点处可导，则极限( ).
A、
B、
C、
D、

5、设函数在点处可导，且，，则极限( ).
A、0
B、1
C、3
D、5

6、已知,则在处（ ）.
A、左右导数都存在
B、左右导数都不存在
C、左导数不存在但右导数存在
D、左导数存在但右导数不存在

7、设,则( ).
A、0
B、
C、
D、99

8、若,则下列结论正确的是（ ）.
A、
B、
C、
D、

9、函数在处（ ）.
A、连续不可导
B、不连续但可导
C、连续且可导
D、不连续不可导

10、函数在处可导，则满足（ ）.
A、
B、
C、
D、为任意常数，

11、设,则（ ）.
A、在处不连续
B、存在
C、不存在，曲线在点处不存在切线
D、不存在，曲线在点处有切线

12、若有,则当时，该函数在处的微分是（ ）.
A、与等价的无穷小
B、与同阶的无穷小
C、比低阶的无穷小
D、比高阶的无穷小

13、已知，则。

14、已知方程，则。

15、曲线与直线垂直的切线方程为.

16、函数由所确定，则.

17、设某商品的需求函数为,则该商品在价格时收益价格弹性.

18、已知,则.

19、已知,则.

20、已知,则.

第四章 中值定理与导数的应用

4.1 微分中值定理随堂测验

1、下列函数在上满足罗尔中值定理条件的是
A、
B、
C、
D、

2、若在内可导，是内任意两点，且，则至少存在一点
A、其中
B、其中
C、其中
D、其中

4.2 洛必达法则随堂测验

1、下列各式中正确运用洛必达法则求极限的是
A、
B、
C、
D、不存在.

2、下列各式正确的是
A、
B、
C、
D、

4.3 用导数研究函数的单调性、极值和最值随堂测验

1、关于函数单调性叙述正确的是
A、在内单调递减；
B、在内单调递增；
C、在内单调递减；
D、在内单调递减.

2、设非常值函数在上连续，且，则在内
A、既有最大值又有最小值；
B、必有最大值或最小值；
C、既有极大值又有极小值；
D、至少存在一点，使

4.4 函数曲线的凹向和拐点随堂测验

1、函数曲线
A、在内下凹，在内上凹；　
B、在内上凹，在内下凹；　
C、在和内都是下凹；　
D、在和内都是上凹.

2、曲线的下凹区间为
A、
B、
C、
D、

4.5 曲线的渐近线与函数的作图随堂测验

1、方程
A、没有实根
B、有且仅有一个实根
C、有两个实根
D、有三个实根

2、直线是曲线的一条垂直渐近线.

4.6 导数在经济分析中的应用随堂测验

1、已知某商品的总成本函数为,则平均成本最低时产量
A、40；
B、30；
C、10；
D、20.

2、函数取得最大利润的充分条件是边际收益等于边际成本.

第四章中值定理与导数的应用单元测验

1、方程 的实根个数为（ ）
A、0
B、1
C、2
D、3

2、设在的某一邻域内可导，且则（ ）
A、必为的一个极大值
B、必为的一个极小值
C、在该邻域内单调增加
D、在该邻域内单调减少

3、关于函数曲线，下列选项正确的是（ ）
A、函数有极值点，曲线无拐点
B、函数无极值点，曲线有拐点
C、函数有极值点，曲线有拐点
D、函数无极值点，曲线也无拐点

4、关于曲线的垂直渐近线，下列选项正确的是（ ）
A、仅有一条垂直渐近线
B、仅有一条垂直渐近线
C、仅有一条垂直渐近线
D、有两条垂直渐近线和

5、某工厂生产一种产品的总成本函数为，需求函数为，其中为产量，为价格，则生产该产品的最优产量为（ ）
A、
B、
C、
D、

6、设则在内，使成立的有（ ）
A、不存在
B、只有一点
C、有两个点
D、是否存在与取值有关

7、在区间上满足罗尔定理条件的函数是（ ）
A、
B、
C、
D、

8、已知，则的实根个数为（ ）
A、2018
B、2019
C、2020
D、2021

9、使函数与在上满足柯西中值定理结论的中值为（ ）
A、
B、
C、
D、

10、下列函数极限中值不为的是（ ）
A、
B、
C、
D、

11、下列函数极限中值不为的是（ ）
A、
B、
C、
D、

12、关于函数，下列结论中错误的是（ ）
A、函数是奇函数，且是有界函数
B、函数有两个极值点
C、曲线只有一个拐点
D、曲线只有一条水平渐近线

13、数列中最大的项为（ ）
A、
B、
C、
D、

14、极限值为（ ）
A、
B、
C、
D、

15、极限值为（ ）
A、
B、
C、
D、

16、已知，则的值为（ ）
A、
B、
C、
D、

17、设在的某邻域内可导，且，则有（ ）
A、为的一个极大值
B、为的一个极小值
C、在的的某邻域内单调减少
D、在的的某邻域内单调增加

18、已知，则的值为（ ）
A、
B、
C、
D、

19、已知在处有极值，则的值为（ ）
A、
B、
C、
D、

20、某厂生产一种产品，其年销售量为100万件，每批生产需增加生产准备费1000元，每件产品的年储存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完后，立即生产下一批。问分几批生产，可使得生产准备费和储存费之和最小（ ）
A、批
B、批
C、批
D、批

第五章 多元函数微分学

5.1 多元函数的基本概述随堂测验

1、平面点集的边界点组成的集合为

5.1 多元函数的基本概述随堂测验

1、下列二次曲面中属于单页双曲面的是：
A、
B、
C、
D、

5.1 多元函数的基本概述随堂测验

1、二元函数在时的极限为
A、
B、
C、
D、不存在

5.2 偏导数随堂测验

1、如果函数的混合偏导数在点的邻域内连续，则.

5.3 多元函数的全微分随堂测验

1、在点的邻域内连续，则下列是函数在点处可微的充分条件的是
A、在内两混偏导数存在，且
B、在内与都存在
C、在内与都连续
D、在内连续

5.4 多元复合函数及隐函数求导法则随堂测验

1、设,则
A、
B、
C、
D、

2、设，则
A、
B、
C、
D、

5.5 多元函数的极值随堂测验

1、设函数，则（0,0）是函数z的（）
A、极大值点但非最大值点；
B、极大值点且是最大值点；
C、极小值点但非最小值点
D、极小值点且是最小值点。

2、设函数z=f(x,y)在点处可微，且,,则函数f(x,y)在点处（）
A、必有极值，可能是极大，也可能是极小；
B、可能有极值，也可能无极值；
C、必有极大值；
D、必有极小值.

5.6 多元函数微分法在经济上的应用随堂测验

1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是元，则取得的最大利润是（）元
A、320
B、300
C、420
D、360

2、生产某个产品q个单位时，总成本函数，则当q=80时，边际成本函数是（）。
A、80
B、60
C、100
D、50

第五章 多元函数微分学单元测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

6、
A、
B、
C、
D、

7、
A、
B、
C、
D、

8、
A、
B、
C、
D、

9、
A、
B、
C、
D、

10、
A、
B、
C、
D、

11、
A、
B、
C、
D、

12、
A、
B、
C、
D、

13、
A、
B、
C、
D、

14、
A、
B、
C、
D、

15、
A、
B、
C、
D、

16、
A、
B、
C、
D、

17、
A、
B、
C、
D、

18、
A、
B、
C、
D、

19、
A、
B、
C、
D、

20、
A、
B、
C、
D、

微积分Ⅰ期末考试试题

微积分Ⅰ期末客观题试题

1、下列函数中为复合函数的是_______.
A、
B、
C、
D、

2、下列极限正确的是——————.
A、
B、
C、
D、

3、若变量为无穷小量，则的变化过程有————个.
A、1
B、2
C、3
D、4

4、若时，与是同阶无穷小，则————.
A、1
B、2
C、3
D、4

5、函数的连续区间为—————.
A、
B、
C、
D、

6、设函数，则是的————.
A、连续点
B、可去间断点
C、跳跃间断点
D、第二类间断点

7、设函数在处可导，,,则___________.
A、5
B、2
C、3
D、-1

8、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是——————.
A、
B、
C、
D、

9、已知函数在上连续，且， 则的极值点有——————个.
A、1
B、2
C、3
D、4

10、函数在区间上二阶可导，且，则在区间上——————.
A、单调递增
B、单调递减
C、有增有减
D、不增不减

11、已知某产品的需求函数为,为价格，Q为需求量，则时的需求弹性为——————.
A、
B、
C、
D、

12、函数共有渐近线的条数为——————.
A、0
B、1
C、2
D、3

13、设函数在 处连续，则——————.
A、1
B、-1
C、-2
D、2

14、极限——————.
A、0
B、1
C、
D、不存在

15、函数在点处——————.
A、连续不可导
B、连续可导
C、不连续不可导
D、不连续但可导

16、设,若在内有,则在内有——————.
A、
B、
C、
D、

17、已知，则——————.
A、
B、
C、
D、

18、已知函数在点处可导,则下列结论正确的是——————.
A、
B、
C、
D、

19、下列结论正确的是——————.
A、如果在点取得最小值，则.
B、如果,，则在区间上.
C、如果是偶函数，则也是偶函数.
D、存在函数，使其在定义域内满足，和.

20、下列等式成立的是________.
A、.
B、.
C、
D、

21、

22、

23、已知，则,

24、已知确定函数，则

25、已知函数，则

26、函数的下凹区间为.

27、

28、设某产品需求函数为，为需求量，单位：件；为价格，单位：百元/件.若生产该产品的固定成本为100百元，多生产一件产品成本增加2百元，并假定市场均衡，则利润最大时的价格百元/件.

29、极限不存在.

30、设,则.

学习通微积分Ⅰ_2的课程是计算数学中重要的一门课程，它是对微积分初步概念进行深入学习的延续。

一、学习目标

• 掌握函数的极限概念以及相关性质；
• 了解函数的连续性及相关定理；
• 掌握导数的概念及计算技巧；
• 掌握函数的应用题计算方法。

二、学习内容

2.1 函数的极限

极限是微积分中非常重要的概念，它是函数在某一点的变化趋势。在学习极限时，要掌握函数极限的定义、性质以及计算方法。

2.1.1 极限的定义

极限的定义是：若函数$f(x)$在$x$无限靠近$a$时，对应的函数值$f(x)$无限地接近$A$，则称函数$f(x)$当$x$趋于$a$时的极限为$A$，记作$\\lim\\limits_{ x\\to a}f(x)=A$。其中，$A$可以是一个有限数、无穷大或无穷小。

2.1.2 极限的性质

极限具有唯一性和局部有界性两个重要的性质。具体来说：

• 唯一性：函数$f(x)$在$a$的邻域内有极限，当且仅当其极限唯一。
• 局部有界性：若$f(x)$当$x$趋于$a$时有极限，则$f(x)$在$a$的某个去心邻域内有界。

2.1.3 极限的计算方法

计算极限时，可以使用极限的四则运算法则、夹逼定理、单调有界原理等方法。同时，还需了解函数的无穷大与无穷小的概念及相关性质。

2.2 函数的连续性

在了解函数的极限概念后，我们需要学习函数的连续性及相关定理。连续性是指函数在某一点处的函数值与该点的极限相等。具体来说：

2.2.1 连续性的定义

函数$f(x)$在$a$点连续的充要条件是：$f(a)$存在，$\\lim\\limits_{ x\\to a}f(x)$存在且等于$f(a)$。记作$\\lim\\limits_{ x\\to a}f(x)=f(a)$。

2.2.2 连续性的定理

函数的连续性具有如下定理：

• 连续函数的四则运算仍为连续函数；
• 连续函数的复合仍为连续函数；
• 连续函数在有限闭区间上具有最大最小值；
• 介值定理：若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$f(a)

2.3 导数的概念及计算

导数是微积分中非常重要的概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。在学习导数时，需要掌握导数的定义、性质及其计算方法。

2.3.1 导数的定义

函数$f(x)$在$x=a$处可导的充要条件是：

$$\\lim\\limits_{ \\Delta x\\to 0}\\dfrac{ f(a+\\Delta x)-f(a)}{ \\Delta x}

$$存在且唯一。这个极限称为函数$f(x)$在$x=a$处的导数，记作$f'(a)$或$\\dfrac{ \\mathrm{ d}y}{ \\mathrm{ d}x}|_{ x=a}$。

2.3.2 导数的性质

导数具有如下性质：

• 可导函数在其定义域内连续；
• 四则运算法则：$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$，$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$，$(\\frac{ f}{ g})'(a)=\\frac{ f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{ g^2(a)}$；
• 链式法则：若$y=f(u)$可导，$u=g(x)$可导，则复合函数$y=f(g(x))$也可导，且$\\dfrac{ \\mathrm{ d}y}{ \\mathrm{ d}x}=\\dfrac{ \\mathrm{ d}y}{ \\mathrm{ d}u}\\cdot \\dfrac{ \\mathrm{ d}u}{ \\mathrm{ d}x}$。

2.3.3 导数的计算方法

计算导数时，可以使用导数的定义、导数的四则运算、导数的链式法则等方法。同时，还需了解高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等方法。

2.4 函数的应用题计算

在学习了函数的极限、连续以及导数等概念后，我们需要通过应用题进行巩固。应用题是将函数概念应用到实际问题中的例题，具体包括极值问题、最小二乘法、解析几何等。

三、学习方法

在学习微积分Ⅰ_2的过程中，需要注重理论与实践相结合。具体而言，可采取以下学习方法：

• 理论学习：理论学习是基础，需要认真阅读教材、课件等相关材料，掌握概念、定理及计算方法等知识点；
• 题目练习：通过大量的题目练习，巩固所学知识，提高解题能力；
• 实际应用：将所学知识应用到实际问题中，提高理论与实践相结合的能力。

四、学习建议

在学习微积分Ⅰ_2的过程中，需要有足够的耐心和恒心，充分发挥自身的主动性和创造性。同时，建议学习者采取以下措施：

• 选好教材：选用编写严谨、习题丰富的教材，如教育部规定的教材或知名出版社的教材；
• 听好课程：认真听好课程，理解概念、定理及计算方法等知识点；
• 练好笔记：做好笔记，及时复习，巩固所学知识；
• 重视实践：注重实践，将所学的知识应用到实际问题中，提高理论与实践相结合的能力。

五、学习收获

微积分Ⅰ_2是计算数学中重要的一门课程，通过学习，可以使学生对微积分初步概念有更深入的了解，掌握函数的极限概念及其计算方法、理解函数的连续性及相关定理、掌握导数的概念及计算技巧、掌握函数的应用题计算方法等，提高理论与实践相结合的能力。

通过学习微积分Ⅰ_2，学生不仅可以为下一步的微积分Ⅰ_3做好准备，还可以为以后的学习和工作打下坚实的数学基础。

六、学习资料

• 教材：《微积分》（上海交通大学出版社）；
• 课件：学习通微积分Ⅰ_2课程；
• 习题集：《微积分》习题集（上海交通大学出版社）。

学习通微积分Ⅰ_2的课程是计算数学中重要的一门课程，它是对微积分初步概念进行深入学习的延续。

一、学习目标

• 掌握函数的极限概念以及相关性质；
• 了解函数的连续性及相关定理；
• 掌握导数的概念及计算技巧；
• 掌握函数的应用题计算方法。

二、学习内容

2.1 函数的极限

极限是微积分中非常重要的概念，它是函数在某一点的变化趋势。在学习极限时，要掌握函数极限的定义、性质以及计算方法。

2.1.1 极限的定义

极限的定义是：若函数$f(x)$在$x$无限靠近$a$时，对应的函数值$f(x)$无限地接近$A$，则称函数$f(x)$当$x$趋于$a$时的极限为$A$，记作$\\lim\\limits_{ x\\to a}f(x)=A$。其中，$A$可以是一个有限数、无穷大或无穷小。

2.1.2 极限的性质

极限具有唯一性和局部有界性两个重要的性质。具体来说：

• 唯一性：函数$f(x)$在$a$的邻域内有极限，当且仅当其极限唯一。
• 局部有界性：若$f(x)$当$x$趋于$a$时有极限，则$f(x)$在$a$的某个去心邻域内有界。

2.1.3 极限的计算方法

计算极限时，可以使用极限的四则运算法则、夹逼定理、单调有界原理等方法。同时，还需了解函数的无穷大与无穷小的概念及相关性质。

2.2 函数的连续性

在了解函数的极限概念后，我们需要学习函数的连续性及相关定理。连续性是指函数在某一点处的函数值与该点的极限相等。具体来说：

2.2.1 连续性的定义

函数$f(x)$在$a$点连续的充要条件是：$f(a)$存在，$\\lim\\limits_{ x\\to a}f(x)$存在且等于$f(a)$。记作$\\lim\\limits_{ x\\to a}f(x)=f(a)$。

2.2.2 连续性的定理

函数的连续性具有如下定理：

• 连续函数的四则运算仍为连续函数；
• 连续函数的复合仍为连续函数；
• 连续函数在有限闭区间上具有最大最小值；
• 介值定理：若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$f(a)

2.3 导数的概念及计算

导数是微积分中非常重要的概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。在学习导数时，需要掌握导数的定义、性质及其计算方法。

2.3.1 导数的定义

函数$f(x)$在$x=a$处可导的充要条件是：

$$\\lim\\limits_{ \\Delta x\\to 0}\\dfrac{ f(a+\\Delta x)-f(a)}{ \\Delta x}

$$存在且唯一。这个极限称为函数$f(x)$在$x=a$处的导数，记作$f'(a)$或$\\dfrac{ \\mathrm{ d}y}{ \\mathrm{ d}x}|_{ x=a}$。

2.3.2 导数的性质

导数具有如下性质：

• 可导函数在其定义域内连续；
• 四则运算法则：$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$，$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$，$(\\frac{ f}{ g})'(a)=\\frac{ f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{ g^2(a)}$；
• 链式法则：若$y=f(u)$可导，$u=g(x)$可导，则复合函数$y=f(g(x))$也可导，且$\\dfrac{ \\mathrm{ d}y}{ \\mathrm{ d}x}=\\dfrac{ \\mathrm{ d}y}{ \\mathrm{ d}u}\\cdot \\dfrac{ \\mathrm{ d}u}{ \\mathrm{ d}x}$。

2.3.3 导数的计算方法

计算导数时，可以使用导数的定义、导数的四则运算、导数的链式法则等方法。同时，还需了解高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等方法。

2.4 函数的应用题计算

在学习了函数的极限、连续以及导数等概念后，我们需要通过应用题进行巩固。应用题是将函数概念应用到实际问题中的例题，具体包括极值问题、最小二乘法、解析几何等。

三、学习方法

在学习微积分Ⅰ_2的过程中，需要注重理论与实践相结合。具体而言，可采取以下学习方法：

• 理论学习：理论学习是基础，需要认真阅读教材、课件等相关材料，掌握概念、定理及计算方法等知识点；
• 题目练习：通过大量的题目练习，巩固所学知识，提高解题能力；
• 实际应用：将所学知识应用到实际问题中，提高理论与实践相结合的能力。

四、学习建议

在学习微积分Ⅰ_2的过程中，需要有足够的耐心和恒心，充分发挥自身的主动性和创造性。同时，建议学习者采取以下措施：

• 选好教材：选用编写严谨、习题丰富的教材，如教育部规定的教材或知名出版社的教材；
• 听好课程：认真听好课程，理解概念、定理及计算方法等知识点；
• 练好笔记：做好笔记，及时复习，巩固所学知识；
• 重视实践：注重实践，将所学的知识应用到实际问题中，提高理论与实践相结合的能力。

五、学习收获

微积分Ⅰ_2是计算数学中重要的一门课程，通过学习，可以使学生对微积分初步概念有更深入的了解，掌握函数的极限概念及其计算方法、理解函数的连续性及相关定理、掌握导数的概念及计算技巧、掌握函数的应用题计算方法等，提高理论与实践相结合的能力。

通过学习微积分Ⅰ_2，学生不仅可以为下一步的微积分Ⅰ_3做好准备，还可以为以后的学习和工作打下坚实的数学基础。

六、学习资料

• 教材：《微积分》（上海交通大学出版社）；
• 课件：学习通微积分Ⅰ_2课程；
• 习题集：《微积分》习题集（上海交通大学出版社）。