超星常微分方程（一）章节答案(学习通2023题目答案)

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第一章 前言，超星常微程章历史及发展现状

1.1 常微分方程发展简史随堂测验

1、分方“常微分方程”第一次出现是节答哪一年？
A、1676年
B、案学1695年
C、习通1811年
D、题目1841年

2、答案1841年哪国数学家证明了有些黎卡提方程不能用初等积分法求解？
A、超星常微程章意大利
B、分方俄国
C、节答法国
D、案学美国

1.2 常微分方程基本概念随堂测验

1、习通
A、题目
B、答案
C、超星常微程章
D、

2、

1.3 常微分方程解的几何意义随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、

1.4 常微分方程模型举例随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

1.1 常微分方程发展简史

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A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

1.2 常微分方程基本概念

1、
A、
B、
C、
D、以上均不对。

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A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

5、

1.3 常微分方程解的几何意义

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A、
B、
C、
D、

2、

1.4 常微分方程模型举例

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

第一章 前言，历史及发展现状

1、

2、

3、

4、

第一章 前言，历史及发展现状

1、

2、

3、

4、

第二章 一阶微分方程的初等积分法

2.1.1变量分离方程与变量变换---变量分离方程随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、

2.1.2变量分离方程与变量变换---齐次方程随堂测验

1、

2、

2.1.3变量分离方程与变量变换---可化为变量方程类型随堂测验

1、

2、

2.2.1线性方程与常数变易法---认识一阶线性微分方程随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、

2.2.2线性方程与常数变易法---一阶线性齐次方程的解法随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、

2.2.3线性方程与常数变易法---一阶线性非齐次方程的解法随堂测验

1、

2.2.4线性方程与常数变易法---可化为一阶线性方程的类型随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

2.3.1恰当微分方程与积分因子---恰当方程及其判定随堂测验

1、

2、

2.3.2恰当微分方程与积分因子---恰当方程的求解随堂测验

1、

2、

2.3.3恰当微分方程与积分因子---积分因子及其确定随堂测验

1、

2、

2.3.4恰当微分方程与积分因子---求积分因子的方法随堂测验

1、

2、

2.4.1 一阶隐式微分方程与参数表示---可解出变量x或y的一阶隐式微分方程随堂测验

1、

2、

3、

2.4.2 一阶隐式微分方程与参数表示---第二类一阶隐式微分方程及其求解随堂测验

1、

2、

2.1.1变量分离方程与变量变换---变量分离方程

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、

2.1.2变量分离方程与变量变换---齐次方程

1、

2、

2.1.3变量分离方程与变量变换---可化为变量方程类型

1、
A、
B、
C、
D、

2、

2.2.1线性方程与常数变易法---认识一阶线性微分方程

1、
A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

2.2.2线性方程与常数变易法---一阶线性齐次方程的解法

1、

2、

2.2.3线性方程与常数变易法---一阶线性非齐次方程的解法

1、
A、
B、
C、
D、

2.2.4线性方程与常数变易法---可化为一阶线性方程的类型

1、下列方程是Bernulli方程的是（ ）。
A、
B、
C、
D、

2、下列方程是Riccati方程的是（ ）。
A、
B、
C、
D、

2.3.1恰当微分方程与积分因子---恰当方程及其判定

1、
A、
B、
C、
D、

2、

2.3.2恰当微分方程与积分因子---恰当方程的求解

1、

2、

2.3.3恰当微分方程与积分因子---积分因子及其确定

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、

2.3.4恰当微分方程与积分因子---求积分因子的方法

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、

4、

2.4.1 一阶隐式微分方程与参数表示---可解出变量x或y的一阶隐式微分方程

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

2.4.2 一阶隐式微分方程与参数表示---第二类一阶隐式微分方程及其求解

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

2.1变量分离方程与变量变换

1、一、单选题 2.

2、

3、

4、

2.2线性方程与常数变易法

1、

2、二、求下列方程的通解

2.3恰当微分方程与积分因子

1、

2、

3、

2.4一阶隐式微分方程与参数表示

1、

2、

3、

第三章 一阶微分方程的解的存在唯一性定理

3.1.1解的存在唯一性定理和逐步逼近法---解的存在唯一性定理简介随堂测验

1、解的存在唯一性定理中，方程右端函数满足的条件是（ ）
A、定义在矩形区域中。
B、在中连续。
C、在中关于满足Lipschitz条件。
D、以上均是。

2、
A、
B、
C、
D、

3.1.2解的存在唯一性定理和逐步逼近法---证明解的存在唯一性定理准备工作随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

3.1.3解的存在唯一性定理和逐步逼近法---定理1的解的存在性证明随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

3.1.4解的存在唯一性定理和逐步逼近法---定理1的唯一性证明随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

3.1.5解的存在唯一性定理和逐步逼近法---存在唯一性定理应用时注意的问题随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、以上均是

2、下列函数在所给区域上满足利普希茲条件的是（ ）。
A、
B、
C、
D、

3.1.6解的存在唯一性定理和逐步逼近法---一阶隐式微分方程的初值问题随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3.1.7解的存在唯一性定理和逐步逼近法---一阶线性方程解的存在唯一性定理随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

3.2.1解延拓的引入随堂测验

1、

2、

3.2.2解的延拓定理及举例随堂测验

1、

2、

3.3.1奇解和包络---奇解和包络随堂测验

1、

2、求曲线族的包络时，得到它的C-判别曲线后，无需检验便可确定它是曲线族的包络。

3.3.2奇解和包络---克莱罗（Clairaut）方程随堂测验

1、

2、

3.1.1解的存在唯一性定理和逐步逼近法---解的存在唯一性定理

1、
A、
B、
C、
D、

3.1.2解的存在唯一性定理和逐步逼近法---证明解的存在唯一性定理准备工作

1、
A、
B、
C、
D、

3.1.3解的存在唯一性定理和逐步逼近法---定理1的解的存在性证明

1、
A、
B、
C、
D、

3.1.4解的存在唯一性定理和逐步逼近法---定理1的唯一性证明

1、
A、
B、
C、
D、

3.1.5解的存在唯一性定理和逐步逼近法---解的存在唯一性定理应用时注意的问题

1、

3.1.6解的存在唯一性定理和逐步逼近法---一阶隐式微分方程的初值问题

1、
A、
B、
C、
D、

3.1.7解的存在唯一性定理和逐步逼近法---一阶线性方程解的存在唯一性定理

1、
A、
B、
C、
D、

3.2 解的延拓定理

1、
A、
B、
C、
D、

2、

3.3 奇解和包络

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法

1、

2、

3、

4、

5、

3.2 解的延拓定理

1、

2、

3.3 奇解和包络

1、

2、

课程考试

常微分方程（一）课程考试 A卷

1、
A、5阶
B、4阶
C、3阶
D、2阶

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
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D、

6、
A、
B、
C、
D、

7、
A、
B、
C、
D、

8、
A、
B、
C、
D、

9、
A、
B、
C、
D、

10、
A、5阶
B、4阶
C、3阶
D、2阶

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A、
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C、
D、

12、
A、
B、
C、
D、

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常微分方程（一）课程考试 B卷

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学习通常微分方程（一）

前言

在数学中，微分方程是极其重要的一个分支。微分方程是描述自然现象和工程问题的最基本的数学语言之一，是数学与物理、化学、生物、经济、社会等领域的交叉学科。本文将对通常微分方程进行系统性的介绍，并提供一些示例来帮助读者更好地理解和应用微分方程。

什么是微分方程

微分方程是一种涉及未知函数及其导数的方程。通常情况下，微分方程可以分为两类：常微分方程和偏微分方程。常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程，而偏微分方程则涉及多个自变量的微分方程。

通常微分方程可以写成以下形式：

$$F(x,y,y',y'',...,y^{ (n)})=0$$

其中 $y$ 是未知函数，$y'$ 表示 $y$ 的一阶导数，$y''$ 表示 $y$ 的二阶导数，以此类推。

一阶常微分方程

一阶常微分方程是指方程中只含有 $y$ 的一阶导数的微分方程。一阶常微分方程可以写成以下形式：

$$\\frac{ dy}{ dx}=f(x,y)

$$其中 $f(x,y)$ 是已知函数。解这个方程意味着找到一个函数 $y=f(x)$，满足 $\\frac{ dy}{ dx}=f(x,y)$。解一阶常微分方程的一种方法是分离变量法。

分离变量法

分离变量法是解一阶常微分方程的一种基本方法。通过将方程两边分别乘以合适的因子，使得方程的左右两边分别只涉及 $x$ 和 $y$，从而将变量分离。具体地，我们可以将一阶常微分方程写成以下形式：

$$\\frac{ dy}{ dx}=f(x)g(y)

$$其中 $f(x)$ 和 $g(y)$ 是已知函数。我们将方程两边移项，并将 $x$ 和 $y$ 的变量分开：

$$\\frac{ 1}{ g(y)}dy=f(x)dx

$$接下来对两边同时积分：

$$\\int \\frac{ 1}{ g(y)}dy=\\int f(x)dx+C

$$其中 $C$ 是常数。上式的左边是 $y$ 的函数，右边是 $x$ 的函数，因此可以求出 $y$ 与 $x$ 的方程。

一些例子

以下是一些解一阶常微分方程的例子。

例 1

解方程 $\\frac{ dy}{ dx}=ky$，其中 $k$ 是常数。

我们可以将方程写成以下形式：

$$\\frac{ 1}{ y}dy=kdx

$$对两边同时积分：

$$\\int \\frac{ 1}{ y}dy=\\int kdx+C

$$得到：

$$\\ln |y|=kx+C_1

$$其中 $C_1$ 是常数。移项得到：

$$y=C_2e^{ kx}

$$其中 $C_2$ 是常数。

例 2

解方程 $\\frac{ dy}{ dx}=x^2$。

我们可以将方程写成以下形式：

$$\\frac{ 1}{ y}dy=x^2dx

$$对两边同时积分：

$$\\int \\frac{ 1}{ y}dy=\\int x^2dx+C

$$得到：

$$\\ln |y|=\\frac{ 1}{ 3}x^3+C_1

$$其中 $C_1$ 是常数。移项得到：

$$y=C_2e^{ \\frac{ 1}{ 3}x^3}

$$其中 $C_2$ 是常数。

二阶常微分方程

二阶常微分方程是指方程中只含有 $y$ 的二阶导数的微分方程。二阶常微分方程可以写成以下形式：

$$y''=f(x,y,y')

$$其中 $f(x,y,y')$ 是已知函数。解这个方程意味着找到一个函数 $y=f(x)$，满足 $y''=f(x,y,y')$。解二阶常微分方程的一种方法是常量变易法。

常量变易法

常量变易法是解二阶常微分方程的一种基本方法。通过假设 $y$ 可以写成 $y=u(x)v(x)$，其中 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是 $x$ 的两个函数，从而将二阶微分方程化为两个一阶微分方程的形式。

我们假设 $y=u(x)v(x)$，则有：

$$y'=u'v+uv'

$$$$y''=u''v+2u'v'+uv''$$

将上式代入原方程得到：

$$u''v+2u'v'+uv''=f(x,u,u'v+uv')

$$我们将 $u'v$ 看成一个新的函数 $w(x)$，则上式可以写成以下形式：

$$u''v+uw'=f(x,u,w)

$$这是一个一阶常微分方程，我们可以用分离变量法来解决它。具体地，我们可以将上式写成以下形式：

$$\\frac{ du}{ dx}=\\frac{ f(x,u,w)-uv''}{ v}

$$$$\\frac{ dv}{ dx}=u$$

解出 $u$ 和 $v$，即可得到 $y$。

一些例子

以下是一些解二阶常微分方程的例子。

例 1

解方程 $y''+y=0$。

我们假设 $y=e^{ rx}$，则有：

$$y'=re^{ rx}

$$$$y''=r^2e^{ rx}$$

将上式代入原方程得到：

$$r^2e^{ rx}+e^{ rx}=0

$$得到 $r^2+1=0$，因此 $r=\\pm i$。于是 $y=C_1\\cos x+C_2\\sin x$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是常数。

例 2

解方程 $y''-y=0$。

我们假设 $y=e^{ rx}$，则有：

$$y'=re^{ rx}

$$$$y''=r^2e^{ rx}$$

将上式代入原方程得到：

$$r^2e^{ rx}-e^{ rx}=0

$$得到 $r^2-1=0$，因此 $r=\\pm1$。于是 $y=C_1e^x+C_2e^{ -x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是常数。

总结

本文介绍了通常微分方程的基本概念、一阶常微分方程的分离变量法、二阶常微分方程的常量变易法，并提供了一些解微分方程的例子。微分方程是非常重要的数学工具，解微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。