mooc数学分析（一）_3期末答案(mooc2023课后作业答案)

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学习通数学分析（一）_3

在上一篇文章中，我们介绍了极限的概念和性质。本篇文章将继续介绍连续函数的定义和性质。

一、连续函数的定义

在数学中，连续函数是一种特殊的函数，其定义如下：

设函数$f(x)$在点$x_0$处定义，如果满足$\\lim\\limits_{ x\\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。如果函数$f(x)$在定义域的每一点都连续，则称函数$f(x)$在该定义域上连续。

可以看出，连续函数的定义与极限的定义十分相似。连续函数的定义中，要求函数在某一点的极限存在，且与该点处的函数值相等。也就是说，函数在此点附近没有“跳跃”或“断裂”的现象。

二、连续函数的性质

接下来，我们来介绍连续函数的一些基本性质。

1. 连续函数的局部有界性

定理：连续函数在任何有限闭区间上都是有界的。

证明：假设函数$f(x)$在有限闭区间$[a,b]$上无界，则对于任意$M>0$，总存在$x\\in[a,b]$，使得$|f(x)|>M$。由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，因此可以找到一个点$x_0\\in[a,b]$，使得$f(x)$在$x_0$处取到最大值或最小值。不妨设$f(x)$在$x_0$处取到最大值$M_0$，则有：

$$由于$f(x)$在$x_0$处连续，因此可以找到一个足够小的正数$\\delta$，使得当$|x-x_0|<\\delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|<\\frac{ M_0-M}{ 2}$。由于$f(x)$在$x_0$处取到最大值，因此对于任意$|x-x_0|<\\delta$，都有$f(x)\\leq f(x_0)

2. 连续函数的介值定理

定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\\neq f(b)$，则对于任意介于$f(a)$与$f(b)$之间的数$c$，必存在某个$x\\in[a,b]$，使得$f(x)=c$。

证明：由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，因此$f(x)$在$[a,b]$上取到最大值$M$和最小值$m$。由于$f(a)\\neq f(b)$，不妨设$f(a)0$，因此$g(a)g(b)<0$，由介值定理可知，存在$x_0\\in(a,b)$，使得$g(x_0)=0$，即$f(x_0)-c=0$，即$f(x_0)=c$。

3. 连续函数的零点定理

定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\\neq f(b)$，则函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个零点。

证明：由于$f(a)\\neq f(b)$，不妨设$f(a)0$（由介值定理）。若$f(x_0)=0$，显然$x_0$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个零点。若$f(x_0)>0$，可以将$[a,b]$分成两个区间$[a,x_0]$和$[x_0,b]$，由于$f(x)$在$[a,x_0]$上和$[x_0,b]$上都是连续的，并且$f(a)<00>f(b)$，因此根据介值定理，在$[a,x_0]$和$[x_0,b]$上至少各存在一个零点。

三、小结

本篇文章介绍了连续函数的定义和性质，包括连续函数的局部有界性、介值定理和零点定理。连续函数是数学中非常重要的一类函数，它在实际问题中的应用非常广泛。

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B.机体维生素C缺乏表现为（ ）
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