超星高等数学（四）_7答案(学习通2023课后作业答案)

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学习通高等数学（四）_7

本章主要涉及多元函数的极限、连续、偏导数、方向导数、梯度、多元函数的极值和条件极值等内容。

1.多元函数的极限

与一元函数类似，多元函数也可以有极限。

• 定义：设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\\epsilon$，存在正数$\\delta$，使得当点$(x,y)$满足$0<\\sqrt{ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\\delta$时，有$|f(x,y)-A|<\\epsilon$，则称$A$是函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的极限，记作$\\lim\\limits_{ (x,y)\\rightarrow(x_0,y_0)}f(x,y)=A$。
• 性质：与一元函数的性质类似，不再赘述。

2.多元函数的连续性

多元函数的连续性可以通过极限来定义。

• 定义：设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内有定义，如果$\\lim\\limits_{ (x,y)\\rightarrow(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续。
• 定理：连续函数的基本性质与一元函数类似，不再赘述。

3.偏导数

多元函数的偏导数是指函数在某一变量上的导数。

• 定义：设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内有定义，如果极限$\\lim\\limits_{ \\Delta x\\rightarrow 0}\\dfrac{ f(x_0+\\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{ \\Delta x}$存在，则称其为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$对$x$的偏导数，记作$\\dfrac{ \\partial f}{ \\partial x}(x_0,y_0)$。
• 同理，有$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$对$y$的偏导数，记作$\\dfrac{ \\partial f}{ \\partial y}(x_0,y_0)$。

4.方向导数

方向导数是指在某一方向上函数变化最快的导数。

• 定义：设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内有定义，$\\vec{ l}=(\\cos\\alpha,\\sin\\alpha)$（$\\alpha$为常数），如果极限$\\lim\\limits_{ h\\rightarrow 0}\\dfrac{ f(x_0+ h\\cos\\alpha,y_0+h\\sin\\alpha)-f(x_0,y_0)}{ h}$存在，则称其为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$沿方向$\\vec{ l}$的方向导数，记作$\\dfrac{ \\partial f}{ \\partial \\vec{ l}}(x_0,y_0)$。

5.梯度

梯度是指函数变化最快的方向和速率。

• 定义：设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内有定义，梯度记作$\\mathrm{ grad}\\,f(x_0,y_0)$，定义为$(\\dfrac{ \\partial f}{ \\partial x}(x_0,y_0),\\dfrac{ \\partial f}{ \\partial y}(x_0,y_0))$。
• 梯度的性质：$\\mathrm{ grad}\\,f(x_0,y_0)$是$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的法向量，即$\\mathrm{ grad}\\,f(x_0,y_0)$垂直于$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的等高线。

6.多元函数的极值及条件极值

与一元函数类似，多元函数也可以有极值。

• 定义：设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内有定义，如果存在这个邻域中的任意点$(x,y)$，使得$f(x,y)\\le f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极小值，极小值为$f(x_0,y_0)$；如果存在这个邻域中的任意点$(x,y)$，使得$f(x,y)\\ge f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极大值，极大值为$f(x_0,y_0)$；如果既不是极小值也不是极大值，则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处没有极值。
• 条件极值是指在一定条件下函数的极值，求解条件极值可使用拉格朗日乘数法。

本章内容稍微有些复杂，需要同学们加倍努力掌握，同时也需要大量的练习才能够熟练掌握。