超星线性代数_3章节答案(学习通2023完整答案)

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第二讲 矩阵

2.1.1 矩阵及其线性运算随堂测验

1、超星
A、线性学习
B、代数答案
C、章节整答
D、通完

2、超星
A、线性学习
B、代数答案
C、章节整答
D、通完

3、超星
A、线性学习
B、代数答案
C、章节整答
D、通完

4、
A、
B、
C、
D、

2.1.2 矩阵乘法及方阵的幂随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

2.2.1 矩阵的转置和方阵的行列式随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

2.2.2 逆矩阵的概念随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

2.3.1矩阵可逆的判定及逆矩阵的计算随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

2.3.2分块矩阵及其运算性质随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

2.4.1初等变换和初等矩阵随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

2.4.2等价矩阵、用初等行变换求逆矩阵随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

第二讲 矩阵测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

6、
A、
B、
C、
D、

7、
A、
B、
C、
D、

8、
A、
B、
C、
D、

9、
A、
B、
C、
D、

10、
A、
B、
C、
D、

11、
A、
B、
C、
D、

12、
A、
B、
C、
D、

13、
A、
B、
C、
D、

14、
A、
B、
C、
D、

15、
A、
B、
C、
D、

16、
A、
B、
C、
D、

17、
A、
B、
C、
D、

18、
A、
B、
C、
D、

19、
A、
B、
C、
D、

20、
A、
B、
C、
D、

21、
A、
B、
C、
D、

22、
A、
B、
C、
D、

23、
A、
B、
C、
D、

24、
A、
B、
C、
D、

25、
A、
B、
C、
D、

26、
A、
B、
C、
D、

27、
A、
B、
C、
D、

28、
A、
B、
C、
D、

29、
A、
B、
C、
D、

30、
A、
B、
C、
D、

31、
A、
B、
C、
D、

32、
A、
B、
C、
D、

33、
A、
B、
C、
D、

34、
A、
B、
C、
D、

35、
A、
B、
C、
D、

36、
A、
B、
C、
D、

37、
A、
B、
C、
D、

38、
A、
B、
C、
D、

39、
A、
B、
C、
D、

40、
A、
B、
C、
D、

41、
A、
B、
C、
D、

42、
A、
B、
C、
D、

43、
A、
B、
C、
D、

44、
A、
B、
C、
D、

45、
A、
B、
C、
D、

46、
A、
B、
C、
D、

47、
A、
B、
C、
D、

48、
A、
B、
C、
D、

49、
A、
B、
C、
D、

50、
A、
B、
C、
D、

51、
A、
B、
C、
D、

52、
A、
B、
C、
D、

53、
A、
B、
C、
D、

54、
A、
B、
C、
D、

55、
A、
B、
C、
D、

56、
A、
B、
C、
D、

57、
A、
B、
C、
D、

58、
A、
B、
C、
D、

59、
A、
B、
C、
D、

60、
A、
B、
C、
D、

第二讲 矩阵 作业

1、

2、

3、

4、

第三讲 向量组的线性相关性

3.1.1向量及其基本运算随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

3.1.2向量的线性表示、线性组合随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

3.2.1向量组的线性相关性随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、

5、

3.2.2向量组线性相关性的判定随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、

3.3.1正交矩阵、向量组的极大无关组随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

3.3.2向量组的秩随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

3.4.1矩阵的秩随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

3.4.2矩阵秩和向量组秩的求法随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

第三讲 向量组的线性相关性测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

6、
A、
B、
C、
D、

7、
A、
B、
C、
D、

8、
A、
B、
C、
D、

9、
A、
B、
C、
D、

10、
A、
B、
C、
D、

11、
A、
B、
C、
D、

12、
A、
B、
C、
D、

13、
A、
B、
C、
D、

14、
A、
B、
C、
D、

15、
A、
B、
C、
D、

16、
A、
B、
C、
D、

17、
A、
B、
C、
D、

18、
A、
B、
C、
D、

19、
A、
B、
C、
D、

20、
A、
B、
C、
D、

21、
A、
B、
C、
D、

22、
A、
B、
C、
D、

23、
A、
B、
C、
D、

24、
A、
B、
C、
D、

25、
A、
B、
C、
D、

26、
A、
B、
C、
D、

27、
A、
B、
C、
D、

28、
A、
B、
C、
D、

29、
A、
B、
C、
D、

30、
A、
B、
C、
D、

31、
A、
B、
C、
D、

32、
A、
B、
C、
D、

33、
A、
B、
C、
D、

34、
A、
B、
C、
D、

35、
A、
B、
C、
D、

36、
A、
B、
C、
D、

37、
A、
B、
C、
D、

38、
A、
B、
C、
D、

39、
A、
B、
C、
D、

40、
A、
B、
C、
D、

41、
A、
B、
C、
D、

42、
A、
B、
C、
D、

43、
A、
B、
C、
D、

44、
A、
B、
C、
D、

45、
A、
B、
C、
D、

46、
A、
B、
C、
D、

47、
A、
B、
C、
D、

48、
A、
B、
C、
D、

49、
A、
B、
C、
D、

50、
A、
B、
C、
D、

51、
A、
B、
C、
D、

52、
A、
B、
C、
D、

53、
A、
B、
C、
D、

54、
A、
B、
C、
D、

55、
A、
B、
C、
D、

56、
A、
B、
C、
D、

57、
A、
B、
C、
D、

58、
A、
B、
C、
D、

59、
A、
B、
C、
D、

60、
A、
B、
C、
D、

61、
A、
B、
C、
D、

62、
A、
B、
C、
D、

63、
A、
B、
C、
D、

64、
A、
B、
C、
D、

65、
A、
B、
C、
D、

66、
A、
B、
C、
D、

67、
A、
B、
C、
D、

68、
A、
B、
C、
D、

69、
A、
B、
C、
D、

70、
A、
B、
C、
D、

71、
A、
B、
C、
D、

72、
A、
B、
C、
D、

73、
A、
B、
C、
D、

74、
A、
B、
C、
D、

75、
A、
B、
C、
D、

76、
A、
B、
C、
D、

77、
A、
B、
C、
D、

78、
A、
B、
C、
D、

79、
A、
B、
C、
D、

80、
A、
B、
C、
D、

81、
A、
B、
C、
D、

82、
A、
B、
C、
D、

83、
A、
B、
C、
D、

84、
A、
B、
C、
D、

85、
A、
B、
C、
D、

86、
A、
B、
C、
D、

87、
A、
B、
C、
D、

第三讲 向量组的线性相关性 作业

1、

2、

3、

4、

第四讲 线性方程组

4.1.1线性方程组的消元解法随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

4.1.2线性方程组解的判定随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

4.2.1齐次线性方程组随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

4.2.2非齐次线性方程组解的性质和结构随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

4.3.1向量空间的基本概念随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

4.3.2基变换和坐标变换随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

第四讲 线性方程组测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

6、
A、
B、
C、
D、

7、
A、
B、
C、
D、

8、
A、
B、
C、
D、

9、
A、
B、
C、
D、

10、
A、
B、
C、
D、

11、
A、
B、
C、
D、

12、
A、
B、
C、
D、

13、
A、
B、
C、
D、

14、
A、
B、
C、
D、

15、
A、
B、
C、
D、

16、
A、
B、
C、
D、

17、
A、
B、
C、
D、

18、
A、
B、
C、
D、

19、
A、
B、
C、
D、

20、
A、
B、
C、
D、

21、
A、
B、
C、
D、

22、
A、
B、
C、
D、

23、
A、
B、
C、
D、

24、
A、
B、
C、
D、

25、
A、
B、
C、
D、

26、
A、
B、
C、
D、

27、
A、
B、
C、
D、

28、
A、
B、
C、
D、

29、
A、
B、
C、
D、

30、
A、
B、
C、
D、

31、
A、
B、
C、
D、

32、
A、
B、
C、
D、

33、
A、
B、
C、
D、

34、
A、
B、
C、
D、

35、
A、
B、
C、
D、

36、
A、
B、
C、
D、

37、
A、
B、
C、
D、

38、
A、
B、
C、
D、

39、
A、
B、
C、
D、

40、
A、
B、
C、
D、

41、
A、
B、
C、
D、

42、
A、
B、
C、
D、

43、
A、
B、
C、
D、

44、
A、
B、
C、
D、

45、
A、
B、
C、
D、

46、
A、
B、
C、
D、

47、
A、
B、
C、
D、

48、
A、
B、
C、
D、

49、
A、
B、
C、
D、

50、
A、
B、
C、
D、

51、
A、
B、
C、
D、

52、
A、
B、
C、
D、

53、
A、
B、
C、
D、

54、
A、
B、
C、
D、

55、
A、
B、
C、
D、

56、
A、
B、
C、
D、

57、
A、
B、
C、
D、

58、
A、
B、
C、
D、

59、
A、
B、
C、
D、

60、
A、
B、
C、
D、

61、
A、
B、
C、
D、

62、
A、
B、
C、
D、

63、
A、
B、
C、
D、

64、
A、
B、
C、
D、

65、
A、
B、
C、
D、

66、
A、
B、
C、
D、

67、
A、
B、
C、
D、

68、
A、
B、
C、
D、

69、
A、
B、
C、
D、

70、
A、
B、
C、
D、

71、
A、
B、
C、
D、

72、
A、
B、
C、
D、

73、
A、
B、
C、
D、

74、
A、
B、
C、
D、

75、
A、
B、
C、
D、

76、
A、
B、
C、
D、

77、
A、
B、
C、
D、

78、
A、
B、
C、
D、

79、
A、
B、
C、
D、

80、
A、
B、
C、
D、

81、
A、
B、
C、
D、

82、
A、
B、
C、
D、

83、
A、
B、
C、
D、

84、
A、
B、
C、
D、

85、
A、
B、
C、
D、

86、
A、
B、
C、
D、

87、
A、
B、
C、
D、

88、
A、
B、
C、
D、

第四讲 线性方程组 作业

1、

2、

3、

4、

第五讲 矩阵相似对角化

5.1.1矩阵的特征值与特征向量随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、

5、

5.1.2特征值特征向量的性质、相似矩阵随堂测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
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5.2.1矩阵与对角矩阵相似的条件和方法随堂测验

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5.2.2实对称矩阵的相似对角化随堂测验

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第六讲 二次型

6.1.1二次型与合同变换随堂测验

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6.1.2用正交变换化二次型为标准形随堂测验

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6.2.1用配方法化二次型为标准形随堂测验

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6.2.2正定二次型及其判定随堂测验

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第七讲 线性空间与线性变换

7.1.1线性空间及其子空间随堂测验

1、

2、

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7.1.2线性空间的基 维数 坐标随堂测验

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7.2.1线性变换的概念随堂测验

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7.2.2欧几里得空间随堂测验

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学习通线性代数_3

一、行列式基础

行列式是矩阵的一种重要的数值特征。在矩阵理论中，行列式的重要性不言而喻。行列式可以帮助我们求解矩阵的逆、特征值等很多重要的问题。

在本单元中，我们将学习行列式的概念、性质、求法以及应用。

1. 行列式定义

对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)或|A|，定义为：

det(A)=|A|=a₁₁a₂₂...a_nn-a₁₁a₂₂...a_n-1,n-1a_n,n-1...a_2,1a_3,1...a_n,1

其中a_ij为A的第i行第j列的元素。

2. 行列式的性质

行列式有许多重要的性质，如下：

1. 行列式的值是一个数。
2. 行列式的值与矩阵的行列式有关，不同的行列式对应不同的矩阵。
3. 行列式值为0的矩阵称为奇异矩阵，行列式值不为0的矩阵称为非奇异矩阵。
4. 对换矩阵的两行（列）行列式变号。
5. 矩阵的某行（列）乘以一个数k，行列式值变为原值的k倍。
6. 两行（列）相等的矩阵行列式值为0。
7. 矩阵的转置，行列式值不变。
8. 矩阵的逆矩阵的行列式值等于原矩阵的行列式值的倒数。
9. 两个矩阵的行列式的积等于这两个矩阵的行列式的乘积。
10. 两个矩阵的和的行列式值等于这两个矩阵的行列式值之和。

3. 行列式的应用

行列式在矩阵理论中有着广泛的应用，例如：

1. 求解矩阵的逆。
2. 求解矩阵的特征值和特征向量。
3. 求解齐次线性方程组的解。
4. 求解非齐次线性方程组的特解。

二、行列式求法

现在我们来学习行列式的求法。根据行列式的定义，我们可以使用以下方法来求行列式的值：

1. 按第一行展开

按第一行展开的方法如下：

det(A)=a₁₁|A₁₁| - a₁₂|A₁₂| + a₁₃|A₁₃| - ... + (-1)¹⁺ⁿa_1n|A_1n|

其中A_ij表示去除第i行第j列的余子式，即A的第i行第j列元素的代数余子式。

2. 按第j列展开

按第j列展开的方法如下：

det(A)=a_1j|A_1j| - a_2j|A_2j| + a_3j|A_3j| - ... + (-1)^j+na_nj|A_nj|

其中A_ij表示去除第i行第j列的余子式，即A的第i行第j列元素的代数余子式。

3. 按行列式的任意一行或一列展开

按任意一行或一列展开的方法如下：

det(A)=a_i1|A_i1| + a_i2|A_i2| + ... + a_in|A_in|

或

det(A)=a_1j|A_1j| + a_2j|A_2j| + ... + a_nj|A_nj|

其中i或j为任意数，A_ij表示去除第i行第j列的余子式，即A的第i行第j列元素的代数余子式。

三、行列式的应用举例

1. 求解矩阵的逆矩阵

对于一个n阶非奇异矩阵A，它的逆矩阵A^-1可以通过以下公式求解：

A^-1= 1/det(A) * adj(A)

其中adj(A)为A的伴随矩阵，它的第i行第j列元素为A_ji的代数余子式，即A去除第i行第j列的余子式的符号乘以它的值的乘积。

例如对于下面的矩阵A：

[1 2 3][0 1 4][5 6 0]

我们可以通过以下步骤求解它的逆矩阵：

1. 求解行列式：det(A) = 1*(-24) - 2*15 + 3*6 = -48
2. 求解伴随矩阵：

adj(A) = [1 -20 18][-24 -3 5][12 -6 -4]

3. 求解逆矩阵：

A^-1= 1/-48 * adj(A) = [-1/4 5/12 -3/16][1/8 -1/16 1/16][-5/24 1/8 1/12]

2. 求解矩阵的特征值和特征向量

对于一个n阶矩阵A，它的特征值和特征向量可以通过以下公式求解：

Ax = λx

其中x为非零向量，λ为特征值。

例如对于下面的矩阵A：

[2 1][1 2]

我们可以通过以下步骤求解它的特征值和特征向量：

1. 求解矩阵A- λI的行列式为0：

det(A- λI) = (2- λ)(2- λ) - 1*1 = λ^2 - 4λ + 3 = 0

2. 求解特征值：

λ1 = 1, λ2 = 3

3. 求解特征向量：

对于λ1 = 1，解出x的值为[1 -1]，对于λ2 = 3，解出x的值为[1 1]。

3. 求解齐次线性方程组的解

对于一个n元齐次线性方程组Ax = 0，它的非零解可以通过以下公式求解：

x ≠ 0, det(A) = 0, Ax = 0，则Ax = 0有非零解x，当且仅当det(A) = 0。

例如对于下面的线性方程组：

[1 2 -1][3 0 1][2 -1 3]x = 0

我们可以通过行列式求解它的解：

1. 求解行列式：det(A) = 1*(-3*3 - 2*1) - 2*(3*3 - 2*1) + (-1)*(3*1-0*2) = 0
2. 根据公式得知Ax = 0有非零解。

4. 求解非齐次线性方程组的特解

对于一个n元非齐次线性方程组Ax = b，它的特解可以通过以下公式求解：

det(A) ≠ 0, Ax = b，则Ax = b有唯一解x，x = A^-1b。

例如对于下面的线性方程组：

[1 2 -1][3 0 1][2 -1 3]x = [4 5 6]

我们可以通过求解逆矩阵和矩阵乘法求解它的特解：

1. 求解行列式：det(A) = 1*(-3*3 - 2*1) - 2*(3*3 - 2*1) + (-1)*(3*1-0*2) = -20
2. 求解逆矩阵：

A^-1= 1/-20 * [5 2 11][-6 -3 -7][2 1 4]

3. 求解特解：

x = A^-1b = [5/2 -11/2 3/2]

总结

行列式在矩阵理论中有着重要的作用，它可以帮助我们求解矩阵的逆、特征值等很多重要的问题。我们可以使用按行列式的任意一行或一列展开的方法来求解行列式的值，也可以使用行列式的性质来简化求解过程。同时，我们还可以通过行列式求解齐次线性方程组的解和非齐次线性方程组的特解。

学习通线性代数_3

一、行列式基础

行列式是矩阵的一种重要的数值特征。在矩阵理论中，行列式的重要性不言而喻。行列式可以帮助我们求解矩阵的逆、特征值等很多重要的问题。

在本单元中，我们将学习行列式的概念、性质、求法以及应用。

1. 行列式定义

对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)或|A|，定义为：

det(A)=|A|=a₁₁a₂₂...a_nn-a₁₁a₂₂...a_n-1,n-1a_n,n-1...a_2,1a_3,1...a_n,1

其中a_ij为A的第i行第j列的元素。

2. 行列式的性质

行列式有许多重要的性质，如下：

1. 行列式的值是一个数。
2. 行列式的值与矩阵的行列式有关，不同的行列式对应不同的矩阵。
3. 行列式值为0的矩阵称为奇异矩阵，行列式值不为0的矩阵称为非奇异矩阵。
4. 对换矩阵的两行（列）行列式变号。
5. 矩阵的某行（列）乘以一个数k，行列式值变为原值的k倍。
6. 两行（列）相等的矩阵行列式值为0。
7. 矩阵的转置，行列式值不变。
8. 矩阵的逆矩阵的行列式值等于原矩阵的行列式值的倒数。
9. 两个矩阵的行列式的积等于这两个矩阵的行列式的乘积。
10. 两个矩阵的和的行列式值等于这两个矩阵的行列式值之和。

3. 行列式的应用

行列式在矩阵理论中有着广泛的应用，例如：

1. 求解矩阵的逆。
2. 求解矩阵的特征值和特征向量。
3. 求解齐次线性方程组的解。
4. 求解非齐次线性方程组的特解。

二、行列式求法

现在我们来学习行列式的求法。根据行列式的定义，我们可以使用以下方法来求行列式的值：

1. 按第一行展开

按第一行展开的方法如下：

det(A)=a₁₁|A₁₁| - a₁₂|A₁₂| + a₁₃|A₁₃| - ... + (-1)¹⁺ⁿa_1n|A_1n|

其中A_ij表示去除第i行第j列的余子式，即A的第i行第j列元素的代数余子式。

2. 按第j列展开

按第j列展开的方法如下：

det(A)=a_1j|A_1j| - a_2j|A_2j| + a_3j|A_3j| - ... + (-1)^j+na_nj|A_nj|

其中A_ij表示去除第i行第j列的余子式，即A的第i行第j列元素的代数余子式。

3. 按行列式的任意一行或一列展开

按任意一行或一列展开的方法如下：

det(A)=a_i1|A_i1| + a_i2|A_i2| + ... + a_in|A_in|

或

det(A)=a_1j|A_1j| + a_2j|A_2j| + ... + a_nj|A_nj|

其中i或j为任意数，A_ij表示去除第i行第j列的余子式，即A的第i行第j列元素的代数余子式。

三、行列式的应用举例

1. 求解矩阵的逆矩阵

对于一个n阶非奇异矩阵A，它的逆矩阵A^-1可以通过以下公式求解：

A^-1= 1/det(A) * adj(A)

其中adj(A)为A的伴随矩阵，它的第i行第j列元素为A_ji的代数余子式，即A去除第i行第j列的余子式的符号乘以它的值的乘积。

例如对于下面的矩阵A：

[1 2 3][0 1 4][5 6 0]

我们可以通过以下步骤求解它的逆矩阵：

1. 求解行列式：det(A) = 1*(-24) - 2*15 + 3*6 = -48
2. 求解伴随矩阵：

adj(A) = [1 -20 18][-24 -3 5][12 -6 -4]

3. 求解逆矩阵：

A^-1= 1/-48 * adj(A) = [-1/4 5/12 -3/16][1/8 -1/16 1/16][-5/24 1/8 1/12]

2. 求解矩阵的特征值和特征向量

对于一个n阶矩阵A，它的特征值和特征向量可以通过以下公式求解：

Ax = λx

其中x为非零向量，λ为特征值。

例如对于下面的矩阵A：

[2 1][1 2]

我们可以通过以下步骤求解它的特征值和特征向量：

1. 求解矩阵A- λI的行列式为0：

det(A- λI) = (2- λ)(2- λ) - 1*1 = λ^2 - 4λ + 3 = 0

2. 求解特征值：

λ1 = 1, λ2 = 3

3. 求解特征向量：

对于λ1 = 1，解出x的值为[1 -1]，对于λ2 = 3，解出x的值为[1 1]。

3. 求解齐次线性方程组的解

对于一个n元齐次线性方程组Ax = 0，它的非零解可以通过以下公式求解：

x ≠ 0, det(A) = 0, Ax = 0，则Ax = 0有非零解x，当且仅当det(A) = 0。

例如对于下面的线性方程组：

[1 2 -1][3 0 1][2 -1 3]x = 0

我们可以通过行列式求解它的解：

1. 求解行列式：det(A) = 1*(-3*3 - 2*1) - 2*(3*3 - 2*1) + (-1)*(3*1-0*2) = 0
2. 根据公式得知Ax = 0有非零解。

4. 求解非齐次线性方程组的特解

对于一个n元非齐次线性方程组Ax = b，它的特解可以通过以下公式求解：

det(A) ≠ 0, Ax = b，则Ax = b有唯一解x，x = A^-1b。

例如对于下面的线性方程组：

[1 2 -1][3 0 1][2 -1 3]x = [4 5 6]

我们可以通过求解逆矩阵和矩阵乘法求解它的特解：

1. 求解行列式：det(A) = 1*(-3*3 - 2*1) - 2*(3*3 - 2*1) + (-1)*(3*1-0*2) = -20
2. 求解逆矩阵：

A^-1= 1/-20 * [5 2 11][-6 -3 -7][2 1 4]

3. 求解特解：

x = A^-1b = [5/2 -11/2 3/2]

总结

行列式在矩阵理论中有着重要的作用，它可以帮助我们求解矩阵的逆、特征值等很多重要的问题。我们可以使用按行列式的任意一行或一列展开的方法来求解行列式的值，也可以使用行列式的性质来简化求解过程。同时，我们还可以通过行列式求解齐次线性方程组的解和非齐次线性方程组的特解。