mooc数学物理方法（一）——解析函数与留数定理课后答案(慕课2023完整答案)
37 min readmooc数学物理方法（一）——解析函数与留数定理课后答案(慕课2023完整答案)
复数和解析函数单元测验
1、数学已知一复数，物理完整有确定的解析模而辐角不定，则
A、函数此复数为
B、留数此复数为
C、定理答案答案此复数为
D、课后此复数不存在
2、慕课在扩充的数学复平面上存在一个复数，其模与辐角均无确定值，物理完整则：
A、解析此复数为 0
B、函数此复数为 1
C、留数此复数为
D、定理答案答案此复数为
3、课后
A、一定为正数
B、一定为负数
C、一定为实数
D、一定为纯虚数
4、已知 ，则：
A、一定为 0
B、一定为实数
C、一定为纯虚数
D、一定不存在
5、在上给定一个复数序列，则此序列
A、一定存在唯一一个聚点
B、一定存在不止一个聚点
C、存在聚点，但数量不定
D、不一定存在聚点
6、复数序列的极限
A、一定存在
B、一定不存在
C、可能存在
D、一定为
7、序列的上极限为
A、
B、
C、
D、
8、序列的下极限为
A、
B、
C、
D、
9、若函数在点可导，则C-R条件
A、在该点成立
B、在该点及其邻域内成立
C、在该函数的定义域内处处成立 ?
D、可能在 点不成立
10、下列说法中，哪一个是正确的？
A、函数在某点可导，则在该点一定连续
B、函数在某点不可导，则在该点一定不连续
C、连续函数必可导
D、函数在某点是否可导，与函数在该点是否连续无关
11、函数在内解析的定义是
A、C-R方程在内处处成立
B、函数在内处处可导
C、C-R方程在内处处成立
D、函数在内处处可导
12、函数在一点解析的定义是
A、函数在该点可导
B、函数在该点可导，但在该点的空心邻域内不可导
C、函数在该点不可导，但在该点的空心邻域内处处可导
D、函数在该点及其邻域内处处可导
13、函数在点的导数值为下列表达式在点之值
A、
B、
C、
D、
14、已知函数的实部，则为
A、
B、
C、
D、
第二周：初等解析函数与多值函数
初等解析函数与多值函数单元测验
1、已知解析函数 f(z) 的实部 u(x,y) = x + y，则虚部 v(x,y) 为：
A、x-y
B、y-x
C、x
D、y
2、已知解析函数 f(z) 的实部 u(x,y) = sinx coshy，则虚部 v(x,y) 为：
A、sinx sinhy
B、cosx sinhy
C、cosx coshy
D、?cosx sinhy
E、?cosx coshy
F、?sinx sinhy
3、
A、无定义
B、1
C、0
D、?∞
4、
A、解析
B、不解析
C、可能解析，也可能不解析
D、与 z →∞的方式有关
5、
A、解析
B、不解析
C、可能解析，也可能不解析
D、与 z →∞的方式有关
6、
A、周期性
B、解析性
C、连续性
D、函数值单调变化
7、
A、有界，介于±1 之间
B、趋于∞
C、与 z →∞的方式有关
D、趋于 0
8、函数 w = sinz 的值域是：
A、全复平面
B、单位圆内
C、?1 ≤ Re w ≤ 1
D、?1 ≤ In w ≤ 1
9、当 z →∞时，sinz 之值
A、有界，介于±1 之间
B、趋于∞
C、与 z →∞的方式有关
D、趋于 0
10、指出下面哪个是多值函数：
A、
B、
C、
D、
11、指出下面哪个是多值函数：
A、
B、
C、
D、
12、指出下面哪个是多值函数：
A、sin(lnz)
B、sin(ilnz)
C、sinh(lnz)
D、cosh(lnz)
13、
A、a,b
B、0,a,b
C、a,b,∞
D、0,a,b,∞
14、
A、a,b,c
B、0,a,b,c
C、a,b,c,∞
D、0,a,b,c,∞
15、
A、a,b,c
B、0,a,b,c
C、a,b,c,∞
D、0,a,b,c,∞
16、
A、a,b
B、0,a,b
C、a,b,∞
D、0, a,b,∞
17、
A、a,b
B、0, a,b
C、a,b,∞
D、0, a,b,∞
18、?
A、π/2
B、- π/2
C、3π/2
D、-3π/2
19、
A、π/2
B、- π/2
C、3π/2
D、-3π/2
20、
A、0
B、π
C、-π
D、2π
E、3π
F、-2π
G、-3π
H、4π
21、
A、√2
B、i√2
C、-i√2
D、-√2
22、
A、√2
B、i√2
C、-i√2
D、-√2
23、
A、π/2
B、-π/2
C、3π/2
D、-3π/2
24、
A、π/2
B、-π/2
C、3π/2
D、-3π/2
25、
A、0
B、π
C、-π
D、2π
E、3π
F、-2π
G、4π
H、-3π
第三周：复变积分与Cauchy定理
复变积分与Cauchy定理单元测验
1、
A、一定为0
B、一定不为0
C、一定不存在
D、可能不为0
E、可能为0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
2、
A、?2π
B、?2πi
C、0
D、∞
E、2π
F、2πi
3、
A、0
B、∞
C、2π
D、2πi
E、- 2π
F、- 2πi
4、
A、0
B、∞
C、2π
D、2πi
E、-2π
F、-2πi
5、
A、-2π
B、-2πi
C、0
D、∞
E、2π
F、2πi
6、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、2π
E、-π
F、π?
G、-πi
H、πi
I、-2π
7、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、2π
E、-π
F、π
G、-πi
H、πi
I、-2π
8、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、2π
E、-π
F、π
G、-πi
H、πi
I、-2π
9、下面列出的几个式子中，哪一个是正确的？约定式中出现的围道积分均为逆时针方向一 周．
A、
B、
C、
D、
10、下面列出的几个式子中，哪一个是正确的？约定式中出现的围道积分均为逆时针方向一 周．
A、
B、
C、
D、
11、
A、?πi
B、πi
C、?2πi
D、2πi
12、
A、?πi
B、πi
C、?2πi
D、2πi
13、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、?
14、
A、一定为0
B、一定不为0
C、一定不存在
D、可能不为0
E、可能为0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
15、
A、一定为0
B、一定不为0
C、一定不存在
D、可能不为0
E、可能为0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
16、
A、一定为0
B、一定不为0
C、一定不存在
D、可能不为0
E、可能为0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
17、
A、一定为0
B、一定不为0
C、一定不存在
D、可能不为0
E、可能为0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
18、
A、一定为0
B、一定不为0
C、一定不存在
D、可能不为0
E、可能为0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
19、
A、一定为0
B、一定不为0
C、一定不存在
D、可能不为0
E、可能为0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
20、
A、一定为0
B、一定不为0
C、一定不存在
D、可能不为0
E、可能为0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
21、
A、一定为0
B、一定不为0
C、一定不存在
D、可能不为0
E、可能为0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
22、
A、一定为0
B、一定不为0
C、一定不存在
D、可能不为0
E、可能为0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
第四周：Cauchy定理的推论
Cauchy定理的推论单元测验
1、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、2π
E、-π
F、π
G、-πi
H、πi
I、-2π
2、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、2π
E、-π
F、π
G、-πi
H、πi
I、-2π
3、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、2π
E、-π
F、π
G、-πi
H、πi
I、-2π
4、
A、0
B、2πi
C、
D、
5、
A、0
B、2πi
C、
D、
6、
A、0
B、2πi
C、
D、
7、
A、0
B、2πi
C、
D、
8、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、-πi
9、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、-πi
10、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、-πi
11、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、-πi
12、
A、0
B、2πi
C、-2πi
D、-πi
数学物理方法（一）考试
数学物理方法（一）考试题
1、已知一复数，有确定的模而辐角不定，则：
A、此复数为 0
B、此复数为 1
C、此复数为 i
D、此复数不存在
2、在扩充的复平面上存在一个复数，其模与辐角均无确定值，则：
A、此复数为 0
B、此复数为 1
C、此复数为 i
D、此复数为∞
3、
A、一定为正数
B、一定为负数
C、一定为实数
D、一定为纯虚数
4、
A、z 一定为 0
B、z 一定为实数
C、z 一定为纯虚数
D、z 一定不存在
5、
A、一定存在唯一一个聚点
B、一定存在不止一个聚点
C、存在聚点，但数量不定
D、不一定存在聚点
6、复数序列的极限
A、一定存在
B、一定不存在
C、可能存在
D、一定为∞
7、
A、
B、
C、
D、
8、
A、
B、
C、
D、
9、
A、
B、
C、
D、
10、下列说法中，哪一个是正确的？
A、函数在某点可导，则在该点一定连续
B、函数在某点不可导，则在该点一定不连续
C、连续函数必可导
D、函数在某点是否可导，与函数在该点是否连续无关
11、函数在 G 内解析的定义是
A、
B、
C、
D、
12、函数在一点解析的定义是
A、函数在该点可导
B、函数在该点可导，但在该点的空心邻域内不可导
C、函数在该点不可导，但在该点的空心邻域内处处可导
D、函数在该点及其邻域内处处可导
13、
A、
B、
C、
D、
14、
A、
B、
C、
D、
15、已知解析函数 f(z) 的实部 u(x,y) = x + y，则虚部 v(x,y) 为：
A、x?y
B、y?x
C、x
D、y
16、已知解析函数 f(z) 的实部 u(x,y) = sinx coshy，则虚部 v(x,y) 为：
A、sinx sinhy
B、cosx sinhy
C、cosx coshy
D、?cosx sinhy
E、?cosx coshy
F、?sinx sinhy
17、
A、无定义
B、1
C、0
D、?∞
18、
A、解析
B、不解析
C、可能解析，也可能不解析
D、与 z →∞的方式有关
19、
A、解析
B、不解析
C、可能解析，也可能不解析
D、与 z →∞的方式有关
20、
A、周期性
B、解析性
C、连续性
D、函数值单调变化
21、
A、有界，介于±1 之间
B、趋于∞
C、与 z →∞的方式有关
D、趋于 0
22、函数 w = sinz 的值域是：
A、全复平面
B、单位圆内
C、?1 ≤ Re w ≤ 1
D、?1 ≤ Im w ≤ 1
23、当 z →∞时，sinz 之值
A、有界，介于±1 之间
B、趋于∞
C、与 z →∞的方式有关
D、趋于 0
24、指出下面哪个是多值函数：
A、
B、
C、
D、
25、指出下面哪个是多值函数：
A、
B、
C、
D、
26、指出下面哪个是多值函数：
A、?
B、
C、
D、
27、
A、a,b
B、0,a,b
C、a,b,∞
D、0,a,b,∞
28、
A、a,b,c
B、0,a,b,c
C、a,b,c,∞
D、0,a,b,c,∞
29、
A、a,b,c
B、0,a,b,c ?
C、a,b,c,∞
D、0,a,b,c,∞
30、
A、a,b
B、0,a,b
C、a,b,∞
D、0,a,b,∞
31、
A、a,b
B、0,a,b
C、a,b,∞
D、0,a,b,∞
32、
A、π/2
B、?π/2
C、3π/2
D、?3π/2
33、
A、π/2
B、?π/2
C、3π/2
D、?3π/2
34、
A、0
B、π
C、?π
D、2π
E、3π
F、?2π
G、?3π
H、4π
35、
A、
B、
C、
D、
36、
A、
B、
C、
D、
37、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、? 一定存在
H、可能存在
I、
J、
38、
A、?2π
B、?2πi
C、0
D、∞
E、2π
F、2πi
39、
A、0
B、∞
C、2π
D、2πi
E、?2π
F、?2πi
40、
A、0
B、∞ ?
C、?2π
D、?2πi
E、2π
F、2πi
41、
A、?2π
B、?2πi
C、0
D、∞
E、2π
F、2πi
42、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、2π
E、?π
F、π
G、?πi
H、πi
I、?2π
43、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、2π
E、?π
F、π
G、?πi
H、πi
I、?2π
44、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、2π
E、?π
F、π
G、?πi
H、πi
I、?2π
45、
A、
B、
C、
D、
46、
A、
B、
C、
D、
47、
A、?πi
B、πi
C、?2πi
D、2πi
48、
A、?πi
B、πi
C、?2πi
D、2πi
49、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、2π
E、?π
F、π
G、?πi
H、πi
I、?2π
50、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、2π
E、?π
F、π
G、?πi
H、πi
I、?2π
51、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、2π
E、?π
F、π
G、?πi
H、πi
I、?2π
52、
A、0
B、2πi
C、
D、
53、
A、
B、
C、0
D、2πi
54、
A、
B、
C、
D、
55、
A、
B、
C、
D、
56、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、?πi
57、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、?πi
58、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、?πi
59、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、?πi
60、
A、0
B、2πi
C、?2πi
D、?πi
61、
A、解析点 (或可去奇点
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
62、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
63、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
64、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、多值函数的枝点
E、非孤立奇点
65、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、多值函数的枝点
E、非孤立奇点
66、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
67、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
68、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
69、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
70、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
71、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
72、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
E、多值函数的枝点
73、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
E、多值函数的枝点
74、已知函数 f(z) 和 g(z) 分别以 z = 0 为 m 和 n 阶零点，且 m>n，则函数 f(z)+g(z) 在 z = 0 点的性质：
A、n 阶零点
B、m + n 阶零点
C、m?n 阶零点
D、mn 阶零点
E、m 阶零点
F、m 阶极点
G、n 阶极点
H、m + n 阶极点
I、m?n 阶极点
J、mn 阶极点
75、已知函数 f(z) 和 g(z) 分别以 z = 0 为 m 和 n 阶零点，且 m>n，则函数 f(z)·g(z) 在 z = 0 点的性质：
A、n 阶零点
B、m + n 阶零点
C、m?n 阶零点
D、mn 阶零点
E、m 阶零点
F、m 阶极点
G、n 阶极点
H、m + n 阶极点
I、m?n 阶极点
J、mn 阶极点
76、已知函数 f(z) 和 g(z) 分别以 z = 0 为 m 和 n 阶零点，且 m>n，则函数 f(z)/g(z) 在 z = 0 点的性质：
A、n 阶零点
B、m + n 阶零点
C、m?n 阶零点
D、mn 阶零点
E、m 阶零点
F、m 阶极点
G、n 阶极点
H、m + n 阶极点
I、m?n 阶极点
J、mn 阶极点
77、已知函数 f(z) 和 g(z) 分别以 z = 0 为 m 和 n 阶零点，且 m > n，则函数 f(g(z)) 在 z = 0 点的性质：
A、n 阶零点
B、m + n 阶零点
C、m?n 阶零点
D、mn 阶零点
E、m 阶零点
F、m 阶极点
G、n 阶极点
H、m + n 阶极点
I、m?n 阶极点
J、mn 阶极点
78、已知函数 f(z) 和 g(z) 分别以 z = 0 为 m 和 n 阶极点，且 m>n，则函数 f(z)+g(z) 在 z = 0 点的性质：
A、m 阶极点
B、m + n 阶极点
C、n 阶极点
D、m + n 阶零点
E、mn 阶极点
F、m?n 阶零点
G、mn 阶零点
H、m 阶零点
I、m?n 阶极点
J、n 阶零点
79、已知函数 f(z) 和 g(z) 分别以 z = 0 为 m 和 n 阶极点，且 m>n，则函数 f(z)·g(z) 在 z = 0 点的性质：
A、m 阶极点
B、m + n 阶极点
C、n 阶极点
D、m + n 阶零点
E、mn 阶极点
F、m?n 阶零点
G、mn 阶零点
H、m 阶零点
I、m?n 阶极点
J、n 阶零点
80、已知函数 f(z) 和 g(z) 分别以 z = 0 为 m 和 n 阶极点，且 m>n，则函数 f(z)/g(z) 在 z = 0 点的性质：
A、m 阶极点
B、m + n 阶极点
C、n 阶极点
D、m + n 阶零点
E、mn 阶极点
F、m?n 阶零点
G、mn 阶零点
H、m 阶零点
I、m?n 阶极点
J、n 阶零点
81、
A、m
B、?m
C、m?1
D、?(m?1)
82、
A、m
B、?m
C、m?1
D、?(m?1)
83、
A、m
B、?m
C、m + 1
D、?(m + 1)
84、
A、m
B、?m
C、m + 1
D、?(m + 1)
85、
A、0
B、1
C、e
D、2e
86、
A、0
B、e
C、2e
D、1
87、
A、0
B、1
C、1/2
D、2
88、
A、0
B、1
C、1/2
D、1/4
89、
A、0
B、1
C、1/6
D、6
90、
A、0
B、e
C、e/2
D、e/6
91、
A、0
B、1
C、n
D、n+1
92、
A、0
B、-1
C、-n
D、-(n+1)
93、
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
94、
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
95、
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
96、
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
97、
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
98、
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
99、
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
100、
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
101、
A、
B、
C、
D、
E、
102、
A、
B、
C、
D、
103、
A、
B、
C、
D、
104、
A、
B、
C、
D、
105、
A、0
B、2n+1
C、6n+1
D、1
E、n+1
F、3n+1
106、
A、0
B、2πi
C、6πi
D、20πi
107、
A、无奇点
B、有一个奇点，且为一阶极点
C、有两个奇点，均为一阶极点
D、有一个奇点，且为本性奇点
108、
A、
B、
C、
D、
109、
A、
B、
C、
D、
110、
A、
B、
C、
D、
111、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、
M、
N、
O、
P、
112、
A、
B、
C、
D、
113、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、
M、
N、
O、
P、
114、
A、
B、
C、
D、
115、
A、
B、
C、
D、
116、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
117、
A、只有一个奇点，z = i
B、有两个奇点，z = ±i
C、有三个奇点，z = ±i 和∞
D、无奇点
118、
A、
B、
C、
D、
119、
A、
B、
C、
D、
120、
A、
B、
C、
D、
121、
A、
B、
C、
D、
122、
A、
B、
C、
D、
123、
A、
B、
C、
D、
124、
A、
B、
C、
D、
125、
A、
B、
C、
D、
126、
A、
B、
C、
D、
127、
A、
B、
C、
D、
128、
A、
B、
C、
D、
129、
A、
B、
C、
D、
130、
A、
B、
C、
D、
131、
A、
B、
C、
D、
132、
A、
B、
C、
D、
133、
A、
B、
C、
D、
134、
A、
B、
C、
D、
135、
A、
B、
C、
D、
136、
A、
B、
C、
D、
137、
A、π/2
B、?π/2
C、3π/2
D、?3π/2
138、
A、π/2
B、?π/2
C、3π/2
D、?3π/2
139、
A、0
B、π
C、?π
D、?2π
E、3π
F、2π
G、4π
H、?3π
140、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
141、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
142、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
143、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
144、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
145、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
146、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
147、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
148、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
149、
A、一定为 0
B、一定不为 0
C、一定不存在
D、可能不为 0
E、可能为 0
F、可能不存在
G、一定存在
H、可能存在
I、
J、
150、
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、多值函数的枝点
E、非孤立奇点
151、已知函数 f(z) 和 g(z) 分别以 z = 0 为 m 和 n 阶极点，且 m > n，则函数 f(g(z)) 在 z = 0 点的性质：?
A、m 阶极点
B、m + n 阶极点
C、n 阶极点
D、m + n 阶零点
E、mn 阶极点
F、m?n 阶零点
G、mn 阶零点
H、m 阶零点
I、解析点（或可去奇点）
J、n 阶零点
K、m?n 阶极点
L、本性奇点
152、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、
M、
N、
O、
P、
153、
A、Jordan 引理
B、大圆弧引理
C、被积函数在 0 点处的留数
D、被积函数在∞点处的留数
第五周：孤立奇点与留数
孤立奇点与留数计算单元测验
1、指出函数在点的性质
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
2、指出函数在点的性质
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
3、指出函数在点的性质
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
4、指出函数在点的性质
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、多值函数的枝点
E、非孤立奇点
5、在点的性质
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、多值函数的枝点
E、非孤立奇点
6、点是函数的
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
7、点是函数的
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
8、点是函数的
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
9、点是函数的
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
10、点是函数的
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
11、点是函数的
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
12、点是的
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
E、多值函数的枝点
13、点是(沿实轴直接连接与作割线)的
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、非孤立奇点
E、多值函数的枝点
14、已知函数和分别以为和阶零点，且，则函数在点的性质：
A、阶零点
B、阶零点
C、阶零点
D、阶零点
E、阶零点
F、阶极点
G、阶极点
H、阶极点
I、阶极点
J、阶极点
15、已知函数和分别以为和阶零点，且，则函数在点的性质：
A、阶零点
B、阶零点
C、阶零点
D、阶零点
E、阶零点
F、阶极点
G、阶极点
H、阶极点
I、阶极点
J、阶极点
16、已知函数和分别以为和阶零点，且，则函数在点的性质：
A、n 阶零点
B、m + n 阶零点
C、m?n 阶零点
D、mn 阶零点
E、m 阶零点
F、m 阶极点
G、n 阶极点
H、m + n 阶极点
I、m?n 阶极点
J、mn 阶极点
17、已知函数和分别以为和阶零点，且，则函数在点的性质：
A、n 阶零点
B、m + n 阶零点
C、m?n 阶零点
D、mn 阶零点
E、m 阶零点
F、m 阶极点
G、n 阶极点
H、m + n 阶极点
I、m?n 阶极点
J、mn 阶极点
18、已知函数和分别以为和阶极点，且，则函数在点的性质：
A、m 阶极点
B、m + n 阶极点
C、n 阶极点
D、m + n 阶零点
E、mn 阶极点
F、m?n 阶零点
G、mn 阶零点
H、m 阶零点
I、m?n 阶极点
J、n 阶零点
19、已知函数和分别以为和阶极点，且，则函数在点的性质：
A、m 阶极点
B、m + n 阶极点
C、n 阶极点
D、m + n 阶零点
E、mn 阶极点
F、m?n 阶零点
G、mn 阶零点
H、m 阶零
I、m?n 阶极点
J、n 阶零点
20、已知函数和分别以为和阶极点，且，则函数在点的性质：
A、m 阶极点
B、m + n 阶极点
C、n 阶极点
D、m + n 阶零点
E、mn 阶极点
F、m?n 阶零点
G、mn 阶零点
H、m 阶零点
I、m?n 阶极点
J、n 阶零点
21、已知是函数的阶零点，则函数在点处的留数为
A、m
B、?m
C、m?1
D、?(m?1)
22、已知是函数的阶零点，则函数在点处的留数为
A、m
B、-m
C、m?1
D、?(m?1)
23、已知是函数的阶极点，则函数在点处的留数为
A、m
B、?m
C、m + 1
D、?(m + 1)
24、已知是函数的阶极点，则函数
A、m
B、?m
C、m + 1
D、?(m + 1)
25、函数在点处的留数为
A、0
B、2
C、e
D、2e
26、函数在点处的留数为
A、0
B、e
C、2e
D、1
27、函数在点处的留数为
A、0
B、1
C、1/2
D、2
28、函数在点处的留数为
A、0
B、1
C、1/2
D、1/4
29、函数在点处的留数为
A、0
B、1
C、1/6
D、6
30、函数在点处的留数为
A、0
B、e
C、e/2
D、e/6
31、函数在点处的留数为
A、0
B、1
C、n
D、n+1
32、函数在点处的留数为
A、0
B、-1
C、-n
D、?(n + 1)
33、函数在点处的留数为
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
34、函数在点处的留数为
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
35、函数在点处的留数为
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
36、函数在点处的留数为
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
37、函数在点处的留数为
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
38、函数在点处的留数为
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
39、函数在点处的留数为
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
40、函数在点处的留数为
A、0
B、-1
C、1
D、∞点为非孤立奇点，留数概念不适用
41、在积分围道内，围道积分的被积函数
A、
B、
C、
D、
E、
42、围道积分的被积函数在点处的留数为
A、
B、
C、
D、
43、围道积分的被积函数在点处的留数为
A、
B、
C、
D、
44、围道积分的被积函数在点处的留数为
A、
B、
C、
D、
45、在点的性质
A、解析点 (或可去奇点)
B、极点
C、本性奇点
D、多值函数的枝点
E、非孤立奇点
46、已知函数和分别以为和阶极点，且，则函数在点的性质：
A、m 阶极点
B、m + n 阶极点
C、n 阶极点
D、m + n 阶零点
E、mn 阶极点
F、m?n 阶零点
G、mn 阶零点
H、m 阶零点
I、解析点（或可去奇点）
J、n 阶零点
K、m?n 阶极点
L、本性奇点
第六周：留数定理的应用
留数定理的应用单元测验
1、
A、0
B、2n + 1
C、6n + 1
D、1
E、n + 1
F、3n + 1
2、
A、0
B、2πi
C、6πi
D、20πi
3、
A、无奇点
B、有一个奇点，且为一阶极点
C、有两个奇点，均为一阶极点
D、有一个奇点，且为本性奇点
4、
A、0
B、
C、
D、
5、
A、
B、
C、
D、
6、
A、
B、
C、?
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、
M、
N、
O、
7、
A、
B、
C、
D、
8、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、
M、
N、
O、
P、
9、
A、
B、
C、
D、
10、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、
M、
N、
O、
P、
11、
A、一个奇点，z = 0
B、两个奇点，z = e±πi/4
C、两个奇点，
D、两个奇点：
12、
A、
B、
C、
D、
13、
A、π
B、0
C、
D、
E、
F、
G、
H、
14、
A、只有一个奇点，z = i
B、有两个奇点，z = ±i
C、有三个奇点，z = ±i 和∞
D、无奇点
15、
A、
B、
C、
D、
16、
A、
B、
C、
D、
17、
A、
B、
C、
D、
18、
A、
B、
C、
D、
19、
A、
B、
C、
D、
20、
A、
B、
C、
D、
21、
A、
B、
C、
D、
22、
A、0
B、
C、
D、
23、
A、
B、
C、
D、
24、
A、
B、
C、
D、
25、
A、
B、
C、
D、
26、
A、
B、
C、
D、
27、
A、
B、
C、
D、
28、
A、
B、
C、
D、
29、
A、
B、
C、
D、
30、
A、
B、
C、
D、
31、
A、
B、
C、
D、
32、
A、
B、
C、
D、
33、
A、
B、
C、
D、
34、
A、Jordan 引理
B、大圆弧引理
C、被积函数在 0 点处的留数
D、被积函数在∞点处的留数
中国大学数学物理方法（一）——解析函数与留数定理
解析函数与留数定理是中国大学数学物理方法（一）课程中的重要知识点，是解析函数论和复变函数的基础内容。解析函数是指在一个区域内有无穷阶可导的函数，留数定理则是解析函数在区域内的奇点处的一种计算方法。
一、解析函数
解析函数的定义是指在一个区域内有无穷阶可导的函数。无穷阶可导是指这个函数在该区域内有全纯导数，也就是在复平面上该函数在该区域内的导数存在，称为全纯函数。
解析函数在实数域上的性质与实数域上的光滑函数类似，但在复平面上解析函数具有更多的性质。例如，解析函数的导数也是解析函数，解析函数有洛朗展开式和泰勒展开式，解析函数的零点是孤立的。
1. 洛朗展开式
洛朗展开式是将解析函数在复平面上的一个环上展开成级数的一种方法。设$f(z)$在$z_0$的邻域$U$内全纯，$C$是以$z_0$为中心的圆周，以$z_0$为极点的环形区域是$U$中所含圆$C$与以$z_0$为中心的另一圆$C_0$构成的。则有以下洛朗展开式：
$$f(z)=\\sum_{ n=-\\infty}^{ \\infty}c_n(z-z_0)^n=\\cdots+\\frac{ c_{ -2}}{ (z-z_0)^2}+\\frac{ c_{ -1}}{ z-z_0}+c_0+c_1(z-z_0)+\\cdots$$其中$c_n=\\frac{ 1}{ 2\\pi i}\\oint_C\\frac{ f(z)}{ (z-z_0)^{ n+1}}dz\\ (n=0,\\pm 1,\\pm 2,\\cdots)$，称为$f(z)$在$z_0$处的洛朗系数。
2. 泰勒展开式
泰勒展开式是将解析函数在复平面上的一个点展开成幂级数的一种方法。设$f(z)$在$z_0$的邻域$U$内全纯，则有以下泰勒展开式：
$$f(z)=\\sum_{ n=0}^{ \\infty}a_n(z-z_0)^n=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+\\cdots$$其中$a_n=\\frac{ f^{ (n)}(z_0)}{ n!}$，称为$f(z)$在$z_0$处的$n$阶导数。
3. 零点
解析函数的零点是指使得$f(z)=0$的复数$z$，且该零点是孤立的。如果解析函数有一个无穷远点，那么该无穷远点也是它的孤立零点。解析函数的零点是解析函数在复平面上的重要性质之一。
二、留数定理
留数定理是计算解析函数在奇点处的积分的一种方法，它是利用了解析函数的洛朗展开式及其导数的性质而得出的。留数定理可以用于计算实数域上的定积分、无穷积分和广义积分等。
1. 留数的定义
留数的定义是指解析函数$f(z)$在孤立奇点$z_0$处的留数为：
$$Res(f,z_0)=\\frac{ 1}{ 2\\pi i}\\oint_C f(z)dz$$其中$C$是包含$z_0$的小圆周，反时针方向为正向。
2. 留数的计算方法
留数定理有以下三种计算方法：
（1）洛朗展开法
设$f(z)$在$z_0$的某一邻域内全纯，由其洛朗展开式可以得到：
$$f(z)=\\cdots+\\frac{ c_{ -2}}{ (z-z_0)^2}+\\frac{ c_{ -1}}{ z-z_0}+c_0+c_1(z-z_0)+\\cdots$$根据留数的定义，易知留数为：
$$Res(f,z_0)=c_{ -1}$$（2）极点法
设$f(z)$在$z_0$的某一邻域内的形式为：
$$f(z)=\\frac{ g(z)}{ (z-z_0)^n}$$其中$g(z)$在$z_0$处不为零，且$n$为正整数。根据留数的定义，可以得到：
$$Res(f,z_0)=\\frac{ 1}{ (n-1)!}\\lim_{ z\\to z_0}\\frac{ d^{ n-1}}{ dz^{ n-1}}[(z-z_0)^nf(z)]$$特别地，当$n=1$时，有：
$$Res(f,z_0)=\\lim_{ z\\to z_0}f(z)$$（3）Jordan引理法
设$f(z)$在上半平面$\\Im(z)>0$内全纯，$\\gamma_R$是以原点为中心、半径为$R$的上半圆周，$\\gamma_{ \\epsilon}$是以原点为中心、半径为$\\epsilon$的下半圆周，则有以下Jordan引理：
$$\\lim_{ \\epsilon \\to 0}\\int_{ \\gamma_{ \\epsilon}}f(z)dz=0$$根据留数定理，可以得到：
$$\\lim_{ R\\to +\\infty}\\int_{ \\gamma_R}f(z)dz=2\\pi i\\sum_{ k=1}^m Res(f,z_k)$$其中$z_1,z_2,\\cdots,z_m$是$f(z)$在上半平面内的所有孤立奇点，且它们都在$\\gamma_R$内。这个式子说明，如果$f(z)$在上半平面内只有有限个孤立奇点，那么它在上半平面内的任何一个积分都可以通过留数来计算。
三、应用
留数定理在实际应用中有广泛的应用，例如用于计算实数域上的定积分、无穷积分和广义积分等。下面以积分$\\int_0^{ +\\infty}\\frac{ x\\sin x}{ x^2+a^2}\\,dx$为例进行讲解。
设$f(z)=\\frac{ ze^{ iz}}{ z^2+a^2}$，$C$是以原点为中心、半径为$R$的上半圆周，$\\gamma$是由$C$和实轴上的线段构成的闭合曲线，如下图所示：
根据留数定理，可以得到：
$$2\\pi i\\sum_{ k=1}^m Res(f,z_k)=\\oint_{ \\gamma}f(z)dz=\\int_{ -R}^R\\frac{ xe^{ ix}}{ x^2+a^2}dx+\\int_{ C}\\frac{ ze^{ iz}}{ z^2+a^2}dz$$显然，$\\int_{ C}\\frac{ ze^{ iz}}{ z^2+a^2}dz$趋近于$0$，因为$e^{ iz}$在上半平面内有全纯的延拓，所以它在上半平面内没有奇点。所以：
$$\\lim_{ R\\to +\\infty}\\int_{ C}\\frac{ ze^{ iz}}{ z^2+a^2}dz=0$$而$\\int_{ -R}^R\\frac{ xe^{ ix}}{ x^2+a^2}dx$可以通过留数计算，因为$z=\\pm ai$是$f(z)$的两个一阶极点。根据留数公式：
$$Res(f,ai)=\\lim_{ z\\to ai}(z-ai)\\frac{ ze^{ iz}}{ z^2+a^2}=\\frac{ iae^{ -a}}{ 2ai}=\\frac{ 1}{ 2}e^{ -a}$$$$Res(f,-ai)=\\lim_{ z\\to -ai}(z+ai)\\frac{ ze^{ iz}}{ z^2+a^2}=\\frac{ -iae^{ a}}{ -2ai}=-\\frac{ 1}{ 2}e^{ a}$$因此，有：
$$\\int_{ -R}^R\\frac{ xe^{ ix}}{ x^2+a^2}dx=2\\pi i\\cdot (\\frac{ 1}{ 2}e^{ -a}-\\frac{ 1}{ 2}e^{ a})=-\\pi i(e^a-e^{ -a})$$综上所述，得到：
$$\\int_0^{ +\\infty}\\frac{ x\\sin x}{ x^2+a^2}\\,dx=\\Im \\{ \\int_0^{ +\\infty}\\frac{ xe^{ ix}}{ x^2+a^2}dx\\}= \\frac{ 1}{ 2}\\Im \\{ -\\pi i(e^a-e^{ -a})\\}=\\frac{ \\pi}{ 2}\\frac{ e^{ -a}-e^a}{ 2i}=\\frac{ \\pi}{ 2}\\frac{ e^{ -a^2}-1}{ 2}$$因此，该积分的值为$\\frac{ \\pi}{ 2}\\frac{ e^{ -a^2}-1}{ 2}$。
四、总结
解析函数与留数定理是解析函数论和复变函数的基础内容，是中国大学数学物理方法（一）课程中的重要知识点。解析函数不仅在实数域上有光滑函数的性质，而且在复平面上有更多的性质，并且有洛朗展开式、泰勒展开式和零点等概念。留数定理可以用于计算实数域上的定积分、无穷积分和广义积分等，有洛朗展开法、极点法和Jordan引理法等计算方法。留数定理不仅是解析函数的基础，而且在实际应用中有广泛的应用。
