超星数学分析Ⅱ_2期末答案(学习通2023课后作业答案)

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学习通数学分析Ⅱ_2

数学分析Ⅱ是数学系中一门重要的课程，是进一步深入学习数学的必修课程。学习通数学分析Ⅱ_2是本课程的第二部分，主要讲解多元函数的微积分学。

一、多元函数的极限

多元函数的极限是指随着自变量的变化，函数值趋近于某一固定的值。在多元函数中，极限的定义与单变量函数的定义类似，只是需要考虑多个自变量在极限过程中的变化。

定义1：如果对于任意给定的正数 ε，都存在正数 δ，使得当点 (x, y) 满足 0 < √(x^2 + y^2) < δ 时，都有 |f(x, y) - A| < ε，那么称 A 是函数 f(x, y) 在 (x, y) 的极限，记作  lim(x,y)→(0,0)f(x, y) = A。

需要注意的是，多元函数的极限存在，并不意味着函数在该点连续。

二、多元函数的偏导数

偏导数是多元函数微积分中的重要概念，表示在函数中只针对其中一个自变量进行微分而其他自变量不变的情况下，函数发生的变化率。

定义2：偏导数fx(x, y)的定义是在将y当作常数来对x求导的结果，即 fx(x,y) = ∂f(x,y)/∂x。    定义3：偏导数fy(x, y)的定义是在将x当作常数来对y求导的结果，即 fy(x,y) = ∂f(x,y)/∂y。

需要注意的是，偏导数是指函数在某一点上的变化率，而不是函数某一方向的变化率。另外，函数在某一点上各个方向的变化率相等，称为全导数。

三、多元函数的微分

多元函数的微分是指将多元函数在某一点的切平面与自变量的微小变化所导致的函数值变化联系起来的一种方法。

定义4：函数f(x,y)在点(x0,y0)处的微分为df = fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy。

需要注意的是，微分是一个线性变换，且微分可以用来估计函数值的变化量。

四、多元函数的泰勒公式

泰勒公式是单变量函数微积分中的重要公式，它将函数在某一点的函数值以及各阶导数值与函数在该点的泰勒展开式联系起来。

定义5：假设函数f(x,y)在点(x0,y0)处具有连续的二阶偏导数，则对于dx,y∈R，存在ξ∈[0,1]，使得          f(x0+dx,y0+dy) = f(x0,y0) + fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy                     + ½[fxx(x0+ξdx,y0+ξdy)dx^2 + 2fxy(x0+ξdx,y0+ξdy)dxdy + fyy(x0+ξdx,y0+ξdy)dy^2]。

需要注意的是，泰勒公式在多元函数的微积分中也有广泛的应用，可以用来求解函数的最值、函数零点等问题。

五、多元函数的极值

多元函数的极值是指函数在某一点或某些点的函数取值最大或最小的情况。对于多元函数的极值，需要通过求解函数的偏导数和海森矩阵等方法进行求解。

定义6：设函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微分，在该点的梯度向量为0，即 gradf(x0,y0) = [fx(x0,y0), fy(x0,y0)]T= [0,0]T，则称f(x,y)在点(x0,y0)处有极值。    定义7：如果在点(x0,y0)处，海森矩阵H(f)(x0,y0)的主对角线上的元素都是正的，且海森矩阵行列式大于0，则称f(x,y)在点(x0,y0)处有严格极小值；如果在点(x0,y0)处，海森矩阵H(f)(x0,y0)的主对角线上的元素都是负的，且海森矩阵行列式小于0，则称f(x,y)在点(x0,y0)处有严格极大值。

需要注意的是，多元函数的极值与函数的连续性、可微性等条件有关，求解时需要验证这些条件是否满足。

六、多元函数的曲线积分

曲线积分是多元函数微积分中的一种计算方法，它将函数沿着曲线进行积分，用来求解曲线上某个向量场在曲线上的流量、曲线长度等问题。

定义8：设曲线C为参数曲线，其参数化为x=x(t), y=y(t)，t∈[a,b]，则曲线积分的定义式为          ∫Cf(x,y)ds = ∫abf(x(t),y(t))√(x'(t)^2 + y'(t)^2)dt。

需要注意的是，曲线积分与曲线的参数化方式有关，不同的参数化方式可能得到不同的结果。

七、总结

学习通数学分析Ⅱ的第二部分主要讲解了多元函数的微积分学，包括多元函数的极限、偏导数、微分、泰勒公式、极值和曲线积分等内容。在学习过程中，需要深入理解各个概念之间的联系，并掌握求解问题的方法和技巧，才能更好地应用到实际问题中。

文学形象的形象感来自于文学语言唤起的丰富的（ ）活动。

A.下列关于计划审计工作的说法，正确的是( )。
B.陈凯歌《赵氏孤儿》中，谁是赵孤的干爹（）（0.5分）
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D.Service should add value to a product.

王国维认为：家之眼，域于一人一事；诗人之眼，则_________而观之。

A.适用于向上级机关汇报工作、反映情况，回复上级机关的询问的文种是（ ）。
B.画写意花鸟画梅花时，一般是先从（ ）开始画起
C.HTML5中的______元素是用于绘制图形的。
D.“综合与实践”的一般价值包括（）

洋务运动失败的原因是()

A.零件图的表面粗糙度不需要标注出来。
B.下列不属于囊式空气弹簧特点的是
C.文化可分为评比性文化和非评比性文化（ ）
D.采用截面法分析截面内力的步骤依次是

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A.外来原始凭证,不一定有填制单位公章和填制人员签章。
B.下列不属于头脑风暴操作原则的是（）。
C.“小说界革命”是梁启超首倡的一种（ ）的尝试。
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A.在一个类中定义的成员变量只能被同一包中的类访问，下面哪个选项是正确的
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D.血压（mmHg）、体重（kg）、身高（cm）、肺活量（ml）等属于（ ）。

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B.下列属于资产项目的是（ ）
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介导迟发型超敏反应的细胞是

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拉普拉斯（Laplace）方程的表达式为（ ）。

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对婴儿期的创业企业而言,面临的问题不可能是（）。

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