超星微积分（上）_2答案(学习通2023课后作业答案)
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第1章第2章单元测验
1、
A、微积
B、分上
C、答案
D、学习
2、通课
A、后作
B、业答
C、超星
D、微积
3、分上
A、答案
B、学习
C、通课
D、后作
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第一、二章单元开放作业
1、第一二章开放作业
第六单元 第4章 定积分与不定积分 4.5 分部积分法 4.6 有理函数的积分 4.7 反常积分 第5章 微分方程 5.1 微分方程的基本概念 5.2 可分离变量的微分方程 5.3 齐次方程
第3章第4章单元测试
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第二次开放作业
1、请计算下列问题。
第八单元 第6章 微分中值定理与导数的应用 6.1 微分中值定理 6.2 洛必达法则 6.3 泰勒公式 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
第5章单元测验
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第三次开放作业
1、第三次开放作业
第九单元 第6章 微分中值定理与导数的应用 6.5 函数的极值与最大值最小值 6.6 函数图形的描绘 6.7 曲率 第7章 定积分的应用 7.1 微元法的基本思想 7.2 平面图形的面积 7.3 体积 7.4 平面曲线的弧长 7.5 功 水压力和引力
第6章第7章单元测验
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学习通微积分（上）_2
在学习微积分（上）中，我们已经了解了导数和微分的概念。今天我们要讨论的是微分的应用——局部线性近似。
局部线性近似
在微积分中，我们经常需要对函数进行估计或者计算。而对于非常复杂的函数，很难直接求解。这时候，我们可以使用局部线性近似来解决问题。
局部线性近似的思路是：在一个点附近，我们可以利用该点的导数来近似表示该点附近的函数值。具体地，我们取一个点x0，用线性函数y = f(x0) + f'(x0)(x-x0)来近似代表函数y = f(x)在x0处的取值。这个线性函数称为函数f在x0处的切线。如果我们对于函数的某个值x1进行求解，我们可以利用该函数在x0处的切线计算出x1点处的函数值。
用数学语言表示为：
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x-x0)
例如，我们想要计算函数y = sin(x)在x = π/4处的取值。由于sin(x)的导数为cos(x)，因此sin(π/4) ≈ sin(π/4) + cos(π/4)(x-π/4)。具体地，取x = π/3，我们得到sin(π/3) ≈ sin(π/4) + cos(π/4)(π/3-π/4) ≈ 0.8588。
误差分析
局部线性近似的精度受到两个因素的影响：近似点与目标点的距离以及函数在近似点处的曲率。在局部线性近似中，我们假设函数在近似点附近是线性的，因此对于非线性的函数，在远离近似点的地方，误差会越来越大。
误差可以通过泰勒公式的余项来分析。具体地，我们可以用泰勒公式表示余项，然后使用余项来估计误差。
用数学语言表示为：
Rn(x) = f(x) - Pn(x)
其中，Pn(x)为泰勒公式的n次多项式，Rn(x)为余项。
例如，我们想要计算函数y = sin(x)在x = π/4处的误差。我们可以利用泰勒公式展开sin(x)，得到：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
将x = π/4代入上式，得到sin(π/4) = π/4 - π^3/4^3*3! + π^5/4^5*5! - π^7/4^7*7! + ... ≈ 0.7071。
我们可以观察到，前面几项越多，误差越小。用余项可以表示为：
R4(π/4) = sin(π/4) - (π/4 - π^3/4^3*3! + π^5/4^5*5! - π^7/4^7*7!) ≈ -0.0002
因此我们可以得出结论，用局部线性近似计算sin(π/4)的误差在0.0002左右。
总结
局部线性近似是微积分中一种常用的近似计算方法，可以用于函数求值、函数极值、函数图像绘制等问题。使用局部线性近似时，需要注意近似点与目标点的距离以及函数在近似点处的曲率，以及使用余项来估计误差。
在下一篇文章中，我们将讨论微分方程及其应用。
