尔雅数学分析（三）_10答案(学习通2023完整答案)

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学习通数学分析（三）_10

在学习通数学分析（三）_10中，我们将学习到级数收敛和级数的判别法。

一、级数收敛

在数学中，一个级数是由一系列项组成的无穷和。例如：1+1/2+1/4+1/8+…是一个级数，其中每一项都是2的负整数次幂。级数的收敛性比单项的收敛性更加复杂，因为一个级数的总和需要考虑所有的项。

一个级数如果所求和的结果存在，那么称这个级数是收敛的。如果这个级数的和不存在，那么称这个级数是发散的。

例如，级数1+1/2+1/4+1/8+…是收敛的，因为它的和是2。而级数1+2+3+4+…是发散的，因为它的和不存在。

二、级数的判别法

在判定级数的收敛性时，我们通常采用以下几种判别法。

1.比较判别法

比较判别法是判定正项级数的收敛性的一种方法。它的基本思想是：如果级数的每一项都小于或等于另一个级数的每一项，而另一个级数是收敛的，那么原级数也是收敛的；如果级数的每一项都大于或等于另一个级数的每一项，而另一个级数是发散的，那么原级数也是发散的。

比较判别法的表述如下：

设正项级数∑a_n和∑b_n满足a_n≤b_n(n≥N，N为正整数)，则：

1) 如果∑b_n收敛，则∑a_n也收敛；

2) 如果∑a_n发散，则∑b_n也发散。

2.比值判别法

比值判别法是判定正项级数的收敛性的一种方法。它的基本思想是：对于正项级数∑a_n，如果存在一个正实数q，使得当n足够大时，|a_n+1|/|a_n|≤q<1，那么级数∑a_n收敛；如果|a_n+1|/|a_n|≥1，那么级数∑a_n发散；如果|a_n+1|/|a_n|≥1，且|a_n+1|/|a_n|≤q<1，那么无法判定级数∑a_n的收敛性。

比值判别法的表述如下：

设正项级数∑a_n，若存在正数q<1和正整数N，使得n≥N时，|a_n+1|/|a_n|≤q，则级数∑a_n收敛；若|a_n+1|/|a_n|≥1，则级数∑a_n发散；否则，该法不能判定级数∑a_n的敛散性。

3.根值判别法

根值判别法是判定正项级数的收敛性的一种方法。它的基本思想是：对于正项级数∑a_n，如果存在一个正实数p，使得当n足够大时，a_n的p次方根≤1，那么级数∑a_n收敛；如果a_n的p次方根≥1，那么级数∑a_n发散；如果a_n的p次方根≤1，但是a_n的q次方根≥1，那么无法判定级数∑a_n的收敛性。

根值判别法的表述如下：

设正项级数∑a_n，若极限limn→∞(a_n)^1/n存在，则：

1) 如果limn→∞(a_n)^1/n＜1，则级数∑a_n收敛；

2) 如果limn→∞(a_n)^1/n＞1，则级数∑a_n发散；

3) 如果limn→∞(a_n)^1/n＝1，则该法不能判定级数∑a_n的敛散性。

三、结论

通过学习通数学分析（三）_10，我们可以了解到级数收敛的定义和判别法。比较判别法、比值判别法和根值判别法是判定正项级数的收敛性的主要方法。掌握这些方法可以帮助我们更好地理解级数的性质。