中国大学微积分（I）2【廖华奎】答案(mooc2023课后作业答案)
79 min read中国大学微积分（I）2【廖华奎】答案(mooc2023课后作业答案)
第一章章节测试
1、中国
A、大学A
B、微积B
C、廖华C
D、奎答c课D
2、案m案
A、后作A
B、业答B
C、中国C
D、大学D
3、微积
A、廖华A
B、奎答c课B
C、案m案C
D、后作D
4、
A、A
B、B
C、C
D、D
5、
A、A
B、B
C、C
D、D
6、
A、A
B、B
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B、B
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A、A
B、B
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A、A
B、B
C、C
D、D
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A、A
B、B
C、C
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第二章 重积分及其应用
第二章章节测试
1、
A、A
B、B
C、C
D、D
2、
A、A
B、B
C、C
D、D
3、
A、A
B、B
C、C
D、D
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A、A
B、B
C、C
D、D
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A、A
B、B
C、C
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A、A
B、B
C、C
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A、A
B、B
C、C
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A、A
B、B
C、C
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A、A
B、B
C、C
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A、A
B、B
C、C
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A、A
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C、C
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A、A
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C、C
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A、A
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C、C
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C、C
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A、A
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C、C
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A、A
B、B
C、C
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A、A
B、B
C、C
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A、A
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C、C
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A、A
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C、C
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A、A
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C、C
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A、A
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C、C
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A、A
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C、C
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A、A
B、B
C、C
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A、A
B、B
C、C
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C、C
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B、B
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B、B
C、C
D、D
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A、A
B、B
C、C
D、D
中国大学微积分（I）2【廖华奎】
一、导数的应用
1.函数的单调性和极值
设函数y=f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且f'(x)存在，这时：
（1）若f'(x)>0，即f(x)单调上升；
（2）若f'(x)<0，即f(x)单调下降；
（3）若f'(x)=0，即f(x)取极值（极大值或极小值）。
2.函数的拐点
设函数y=f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内二阶可导，这时：
（1）若f''(x)>0，即f(x)在x处拐点（下凸）；
（2）若f''(x)<0，即f(x)在x处拐点（上凸）。
二、微分中值定理
微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，它为我们研究函数的性质提供了重要的工具。
1.罗尔定理
设函数y=f(x)满足：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）f(a)=f(b)。
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。
2.拉格朗日中值定理
设函数y=f(x)满足：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导。
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得：
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。
即：
f'(ξ)= (f(b)-f(a))/(b-a)。
3.柯西中值定理
设函数y=f(x)和g(x)满足：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）g'(x)≠0。
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得：
[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=f'(ξ)/g'(ξ)。
三、泰勒公式
泰勒公式是微积分学中的一个重要定理，它能够将一个可导函数在某一点的值表示成该点的函数值及该点的若干阶导数的组合形式。
1.拉格朗日余项
设函数y=f(x)在x=a处具有n+1阶导数，则对于x∈[a,x]，有：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)。
其中：
Rn(x)=f^(n+1)(ξ)(x-a)^(n+1)/(n+1)!，其中ξ∈[a,x]。
2.泰勒公式
设函数y=f(x)在x=a处具有n+1阶导数，则对于x∈[a,x]，有：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)。
其中：
Rn(x)=f^(n+1)(ξ)(x-a)^(n+1)/(n+1)!，其中ξ∈[a,x]。
四、常微分方程
常微分方程是微积分学中的一个重要分支，它研究的是只涉及单个自变量的函数的导数与该函数本身之间的关系。
1.一阶常微分方程
一阶常微分方程的一般形式为：
y'=f(x,y)，y(x0)=y0。
其中，f(x,y)为已知函数，y(x)是未知函数。
2.欧拉法
欧拉法是用于求解一阶常微分方程的一种数值方法，它基于微分方程初值问题的初值，通过逐步逼近求解微分方程在某一特定点处的解。
设y(x)在区间[a,b]上具有二阶导数，则在区间[a,b]上欧拉法的误差为：
|y(x)-y0|<=h[M2/(2!)-M1/(1!)]，其中M1=maxf(x,y)，M2=max|f_y(x,y)|，h为步长。
3.五阶龙格-库塔法
五阶龙格-库塔法是求解一阶常微分方程的一种数值方法，它是基于欧拉法的改进和扩展。
五阶龙格-库塔法的一般形式为：
y_(n+1)=y_n+(k1+2k2+2k3+k4+k5)/6，其中：
k1=h*f(x_n,y_n)，
k2=h*f(x_n+h/4,y_n+k1/4)，
k3=h*f(x_n+3h/8,y_n+3k1/32+9k2/32)，
k4=h*f(x_n+12h/13,y_n+1932k1/2197-7200k2/2197+7296k3/2197)，
k5=h*f(x_n+h,y_n+439/216-k1/5+8k2/15+3680k3/513-845/4104k4)，
通过五阶龙格-库塔法求解的数值解在相同步长下具有更高的精度。
五、本章小结
本章主要介绍了微积分学中的导数应用、微分中值定理、泰勒公式、常微分方程等知识点。
在导数应用方面，我们学习了函数的单调性和极值、函数的拐点等知识，这些知识有助于我们对函数的性质进行深入研究。
在微分中值定理方面，我们学习了罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，这些定理为我们研究函数的一些特殊性质提供了重要的工具。
在泰勒公式方面，我们学习了拉格朗日余项、泰勒公式等，这些公式能够将可导函数在某一点的值表示成该点的函数值及该点的若干阶导数的组合形式。
在常微分方程方面，我们学习了一阶常微分方程、欧拉法、五阶龙格-库塔法等知识，这些知识是对微积分学的应用，具有重要的实际意义。
本章所学习的知识是微积分学的基础，对于深入学习微积分学和各种应用领域都有重要的作用。
