尔雅复变函数_13课后答案(学习通2023课后作业答案)
53 min read尔雅复变函数_13课后答案(学习通2023课后作业答案)
第一章单元测验题
1、尔雅
A、复变
B、函数后作
C、课后
D、答案
2、学习
A、通课
B、业答
C、尔雅
D、复变
3、函数后作
A、课后
B、答案
C、学习
D、通课
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第一章单元作业题
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学习通复变函数_13
在学习复变函数的过程中，我们已经学习了复数的基本运算和性质，以及解析函数的概念和常见函数的性质。在本篇中，我们将重点学习解析函数的级数展开和留数定理。
解析函数的级数展开
在实分析中，我们学习了函数的泰勒级数展开。类似地，在复分析中，我们也可以将解析函数展开为幂级数。但是，与实分析不同的是，复数的单位根具有多个值，因此幂级数的收敛范围也不同于实数情况。
幂级数的收敛半径
定义函数$f(z)$在$z_0$处展开为幂级数$$f(z)=\\sum_{ n=0}^\\infty a_n(z-z_0)^n$$如果对于任意一个$z$，级数都收敛，那么我们称这个展开式在$z_0$处是收敛的。此时，我们把幂级数的和函数表示为$S(z)$，即$$S(z)=\\sum_{ n=0}^\\infty a_n(z-z_0)^n$$对于$S(z)$，我们称其为幂级数的和函数。在这里，我们引入收敛半径的概念。
定义收敛半径$R$为使得级数在圆心$z_0$到半径为$R$的圆周上一定收敛，而在圆心到半径为$R+\\epsilon$的圆周上一定发散的最大正实数，即$$R=\\sup\\{ r\\in \\mathbb{ R}^+:\\sum_{ n=0}^\\infty |a_n|r^n是收敛的\\}$$其中$\\sup$表示上确界。注意，此时级数在圆心到半径为$R$的圆周上的收敛性可以是收敛或发散，而在圆心到半径为$R+\\epsilon$的圆周上一定发散。
级数展开定理
对于解析函数$f(z)$和其在$z_0$处的展开式$$f(z)=\\sum_{ n=0}^\\infty a_n(z-z_0)^n$$如果该展开式的收敛半径为$R$，那么对于任意满足$|z-z_0| 留数定理是复分析中最重要的定理之一，它建立了计算复变函数积分的基本方法。留数定理的核心思想在于揭示积分的奇异性与函数的极点之间的联系。 如果一个复函数$f(z)$在某个点$z_0$处的函数值无限接近于某个复数，但不等于它，那么我们称$z_0$为$f(z)$的极点。当$z_0$为$f(z)$的极点时，我们定义$f(z)$在$z_0$处的留数为$$\\operatorname{ Res}(f,z_0)=\\lim_{ z\\to z_0}(z-z_0)f(z)$$ 留数定理有两种不同的形式，一种是关于闭合曲线的积分，另一种是关于整个复平面的积分。 设$C$是一个简单光滑闭合曲线，$D$是由$C$所围成的区域，$z_0,z_1,\\cdots,z_n$是所有在$D$内部且不在$C$上的复数点，$f(z)$在$D$上是一个解析函数。那么有$$\\oint_C f(z)dz=2\\pi i\\sum_{ k=0}^n\\operatorname{ Res}(f,z_k)$$其中，$\\oint_C f(z)dz$表示$f(z)$沿着曲线$C$所围成的区域$D$的积分。 设$f(z)$是一个在复平面上除有限个极点外解析的函数，且在无穷远处也有解析。那么有$$\\oint_{ -\\infty}^{ +\\infty}f(z)dz=2\\pi i\\sum_\\text{ Im}(z_k)>0\\operatorname{ Res}(f,z_k)$$其中，$\\oint_{ -\\infty}^{ +\\infty}f(z)dz$表示$f(z)$沿着实轴从$-\\infty$到$+\\infty$的积分，$\\sum_\\text{ Im}(z_k)>0$表示所有极点的虚部之和是正数。 留数定理在计算复变函数积分时有着广泛的应用，它可以用来计算各种复杂积分，如半径为无穷的圆周积分、有理函数的积分、三角函数的积分等等。此外，留数定理还可以用来证明一些数学定理，如柯西积分定理、柯西积分公式等等。 在本篇中，我们学习了解析函数的级数展开和留数定理。幂级数的收敛半径是幂级数展开的重要概念，级数展开定理揭示了解析函数和其幂级数展开的关系。留数定理则是复变函数积分计算的重要工具，它建立了函数奇异点和积分之间的联系，可以用来计算各种复杂积分和证明一些数学定理。在后续的学习中，我们将继续深入研究复变函数的性质和应用。留数定理
极点和留数
留数定理的两种形式
关于闭合曲线的留数定理
关于整个复平面的留数定理
留数定理的应用
总结
