超星数学物理方法（三）——分离变量法_1课后答案(学习通2023题目答案)

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第一周 偏微分方程及定解条件

偏微分方程及定解条件单元测验

1、超星
A、数学
B、物理
C、法分离法课
D、变量

2、后答
A、案学
B、习通
C、题目
D、答案

3、超星
A、数学
B、物理
C、法分离法课
D、变量

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

6、
A、
B、
C、
D、

7、
A、
B、
C、
D、

8、
A、
B、
C、
D、

9、
A、
B、
C、
D、

10、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

11、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

12、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

第二周 行波法、分离变量法——“齐次方程+齐次边条件”

分离变量法单元测试一

1、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

2、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

6、
A、
B、
C、
D、

7、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

8、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

9、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

10、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

11、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

12、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

13、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

14、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

15、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、

16、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、

17、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、

18、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、

第三周 分离变量法——“非齐次方程+齐次边条件”及非齐次边条件

分离变量法单元测验二

1、
A、
B、
C、
D、
E、

2、
A、
B、
C、
D、
E、

3、
A、
B、
C、
D、
E、

4、
A、
B、
C、
D、
E、

5、
A、
B、
C、
D、
E、

6、
A、
B、
C、
D、
E、

7、
A、
B、
C、
D、
E、

8、
A、
B、
C、
D、
E、

9、
A、
B、
C、
D、
E、

10、
A、
B、
C、
D、
E、

11、
A、
B、
C、
D、

12、
A、
B、
C、
D、

13、
A、
B、
C、
D、

14、
A、
B、
C、
D、

15、
A、
B、
C、
D、

16、
A、
B、
C、
D、

17、
A、
B、
C、
D、

18、
A、
B、
C、
D、

19、
A、
B、
C、
D、

20、
A、
B、
C、
D、

21、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

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A、
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C、
D、
E、
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G、
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A、
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D、
E、
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G、
H、

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A、
B、
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D、
E、
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G、
H、

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A、
B、
C、
D、
E、
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G、
H、

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A、
B、
C、
D、
E、
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G、
H、

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A、
B、
C、
D、
E、
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H、

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A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

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A、
B、
C、
D、

30、
A、
B、
C、
D、

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A、
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E、
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A、
B、
C、
D、
E、
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G、
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A、
B、
C、
D、
E、
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G、
H、

34、
A、
B、
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D、
E、
F、
G、
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35、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

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A、
B、
C、
D、
E、
F、

37、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

38、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

39、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

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A、
B、
C、
D、
E、
F、

41、
A、
B、
C、
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E、
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42、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

43、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

44、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

45、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

46、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

47、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

48、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

49、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

50、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

51、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

52、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

53、
A、
B、
C、
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E、
F、

54、
A、
B、
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D、
E、
F、

55、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

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A、
B、
C、
D、
E、
F、

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A、
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E、
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58、
A、
B、
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D、
E、
F、

59、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

60、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

第四周 圆形区域内Laplace方程第一边值问题

正交曲面坐标系单元测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
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4、
A、
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5、
A、
B、
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6、
A、
B、
C、
D、

7、
A、
B、
C、
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8、
A、
B、
C、
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9、
A、
B、
C、
D、

10、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、

11、
A、
B、
C、
D、
E、

第五周 Sturm-Liouville型方程的本征值问题

Sturm-Liouville型本征值问题单元测验

1、
A、
B、
C、
D、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

6、
A、
B、
C、
D、

7、
A、
B、
C、
D、

8、
A、
B、
C、
D、

9、
A、
B、
C、
D、

10、
A、
B、
C、
D、

11、
A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

14、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

15、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

分离变量法考试

数学物理方法（三）考试

1、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

2、
A、
B、
C、
D、

3、
A、
B、
C、
D、

4、
A、
B、
C、
D、

5、
A、
B、
C、
D、

6、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

7、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

8、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

9、
A、
B、
C、
D、

10、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

11、
A、
B、
C、
D、

12、
A、
B、
C、
D、
E、

13、
A、
B、
C、
D、
E、

14、
A、
B、
C、
D、

15、
A、
B、
C、
D、

16、
A、
B、
C、
D、

17、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

18、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

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A、
B、
C、
D、

20、
A、
B、
C、
D、

21、
A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

23、
A、
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C、
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24、
A、
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C、
D、

25、
A、
B、
C、
D、

26、
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B、
C、
D、

27、
A、
B、
C、
D、

28、
A、
B、
C、
D、

29、
A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、
E、
F、

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A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

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B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

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A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

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A、
B、
C、
D、

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A、
B、
C、
D、

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B、
C、
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E、
F、

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A、
B、
C、
D、
E、
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G、
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A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

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A、
B、
C、
D、
E、
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G、
H、

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A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、

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A、
B、
C、
D、

43、
A、
B、
C、
D、

44、
A、
B、
C、
D、

45、
A、
B、
C、
D、

46、
A、
B、
C、
D、

47、
A、
B、
C、
D、

48、
A、
B、
C、
D、

49、
A、
B、
C、
D、

50、
A、
B、
C、
D、

51、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、
J、
K、
L、

52、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

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A、
B、
C、
D、
E、
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A、
B、
C、
D、
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55、
A、
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C、
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E、
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56、
A、
B、
C、
D、
E、
F、
G、
H、
I、

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A、
B、
C、
D、
E、

58、
A、
B、
C、
D、
E、
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B、
C、
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A、
B、
C、
D、
E、
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A、
B、
C、
D、
E、
F、

62、
A、
B、
C、
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E、
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A、
B、
C、
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E、
F、

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A、
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C、
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A、
B、
C、
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E、
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66、
A、
B、
C、
D、
E、
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67、
A、
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C、
D、
E、
F、

68、
A、
B、
C、
D、
E、
F、

学习通数学物理方法（三）——分离变量法_1

在数学物理问题中，经常需要用到分离变量法来求解。分离变量法就是将多元函数中的变量分离出来，使得原问题转化为单元函数的微分方程组。这种方法在解决许多经典物理问题如热传导、波动方程以及量子力学中的薛定谔方程等方面起到了重要的作用。

分离变量法的基本思路

分离变量法的基本思路是假设多元函数可以分解为各个变量的积的形式，即：

f(x_1, x_2, ..., x_n) = X(x_1)Y(x_2)...Z(x_n)

其中，X、Y、Z称为待定函数。这时，将原方程带入得到：

X(x_1)Y(x_2)...Z(x_n)F(x_1, x_2, ..., x_n) = 0

由于各个变量相互独立，所以可以将上式化为：

X(x_1)F_1(x_1) = 0

Y(x_2)F_2(x_2) = 0

...

Z(x_n)F_n(x_n) = 0

其中F_1、F_2、...、F_n为仅与对应变量有关的函数。这样，原方程就被转化为一系列单变量函数的微分方程组，可以分别求解。

分离变量法的具体应用

下面通过一个具体的例子来说明如何应用分离变量法求解偏微分方程。

考虑一维热传导方程：

?u/?t = k?^2u/?x^2

其中u(x,t)表示热传导过程中温度分布随时间变化的函数，k为导热系数。

假设温度分布可以分解为时间和空间两个变量的乘积，即：

u(x,t) = X(x)T(t)

带入原方程，得到：

X(x)dT/dt = kT(t)d^2X/dx^2

将上式化为各个变量的函数形式，得到：

X(x)dT/dt = kT(t)d^2X/dx^2

T(t)dX/dx^2 + (1/kX(x))dT/dt = 0

由于上式是一个等式，所以等式两边必须等于同一个常数，不妨设为λ。于是有：

X(x)dT/dt = kT(t)d^2X/dx^2 = λXT

T(t)dX/dx^2 + (λ/k)X(x)T(t) = 0

化简上式，得到：

dT/dt - λ/kT = 0

d^2X/dx^2 + λX = 0

这两个方程分别只与时间和空间有关，可以分别求解。由于时间方程是一个一阶线性微分方程，可以通过求解常微分方程的方法得到：

T(t) = Cexp(λt/k)

其中C为常数。将T(t)代入空间方程，得到：

d^2X/dx^2 + λX = 0

这是一个二阶齐次线性微分方程，可以通过解特征方程得到通解：

X(x) = Asin(sqrt(λ)x) + Bcos(sqrt(λ)x)

其中A、B为常数。将T(t)和X(x)乘起来，得到原方程的通解：

u(x,t) = (Asin(sqrt(λ)x) + Bcos(sqrt(λ)x))exp(λt/k)

其中λ、A、B、C均为待定常数，可以通过边界条件和初值条件确定。

总结

分离变量法是一种常用的数学物理方法，在求解偏微分方程方面发挥了重要的作用。通过假设多元函数可以分解为各个变量的积的形式，将原问题转化为单变量函数的微分方程组，可以分别求解，最后通过乘积得到原方程的通解。需要注意的是，在确定待定常数时，必须要考虑到边界条件和初值条件。